7空间解析几何与向量代数习题与答案

1第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(a的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21MM和，计算向量21MM的模，方向余弦和方向角.3、设kjipkjinkjim45,742,853，求向量pnma34在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.二、1、设kjibkjia2,23，求(1)babababa23)2)(2(及；及(3)a、b的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321MMM，求与3221,MMMM同时垂直的单位向量.23、设)4,1,2(),2,5,3(ba，问与满足_________时，轴zba.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222zyxzyx表示______________曲面.3、1)将xOy坐标面上的xy22绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy坐标面上的xyx222绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3)将xOy坐标面上的369422yx绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2xy表示____________图形。在空间解析几何中2xy表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1))(4222yxz(2))(422yxz四、31、指出方程组319y4x22y在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222zyx与平面1zx的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球2220yxaz与圆柱体)0(22aaxyx的公共部分在xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.44、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132zyx的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12zx,23zy平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线012530742zyxzyx垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zyx的平面方程.55、求直线003zyxzyx与平面01zyx的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1)直线7272zyxzyx与直线11321zyx;2)直线431232zyx和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线04201zyxzyx的距离.B1、已知0cba（cba,,为非零矢量），试证:accbba.62、),(},1,1,1{,3bababa求.3、已知a和b为两非零向量，问t取何值时，向量模||tba最小？并证明此时)(tbab.4、求单位向量n，使an且xn轴，其中)8,6,3(a.5、求过z轴，且与平面052zyx的夹角为3的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M，)1,5,3(2M，且垂直于07326zyx的平面.7、求过直线022012zyxzyx，且与直线2l：211zyx平行的平面.78、求在平面:1zyx上，且与直线11zyL：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg100的物体从空间点)8,1,3(1M，移动到点)2,4,1(2M，计算重力所做的功（长度单位为m）.10、求曲线30222zxzy在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知kjOBkiOA3,3，求OAB的面积12、.求直线0923042zyxzyx在平面14zyx上的投影直线方程.C1、设向量cba,,有相同起点,且0cba，其中0，,,不全为零,8证明:cba,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0M，且与直线L：121122yx相交成3角的直线方程.3、过)4,0,1(且平行于平面01043zyx又与直线21311zyx相交的直线方程.4、求两直线1L：1101zyx与直线2L：0236zyx的最短距离.5、柱面的准线是xoy面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{g，求此柱面方程.6、设向量a,b非零，3),(,2bab，求xaxbax0lim.7、求直线)1(212:yzyxL绕y轴旋转一周所围成曲面方程.第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、116,117,1162、21MM=2,21cos,22cos,21cos,3,43,323、a在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j二、1、1）3)1()2(2)1(13bakjikjiba75121213（2）18)(63)2(baba，kjibaba14210)(22（3）2123),cos(^bababa2、}2,2,0{},1,4,2{3221MMMM9kjikjiMMMMa4462201423221}1724,1724,1726{aa即为所求单位向量。3、2三、1、14)2()3()1(222zyx2、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面3、1)xzy222,旋转抛物面xzyx2)2222,球面3)绕x轴：36994222zyx旋转双叶双曲面绕y轴：36944222yzx旋转单叶双曲面4、抛物线，抛物柱面5、四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。2、082222zyxx3、在xoy面的投影为：0)2(222zayax在xOz面的投影为：0222yazx五、1、04573zyx2、0)1(3)1(1)1(1zyx3、05y4、029zy10六、1、531221zyx2、14322zyx3、065111416zyx4、0592298zyx5、06、1）垂直2）直线在平面上7、223B1、证明思路：0cba，0)(cbaa即0cababa，又0aa，accaba同理得cbba2、思路：),sin(bababa),cos(bababa。答案：6),(ba3、思路)(2||||)()(||2222batbtatbatbatba该式为关于t的一个2次方程，求其最小值即可。答案：2||bbat4、思路：取ib，则bnan,。答案：)68(101kjn5、思路：平面过z轴，不妨设平面方程为0ByAx，则}0,,{BAn，又（BA,不全为0）答案：所求平面方程为03yx或031yx6、法一：，所求平面法向量21MMn，且}3,2,6{1nn取}10,3,6{326347121kjinMMn又平面过点)2,1,4(1M，则平面方程为071036zyx解法2.在平面上任取一点),,(zyxM，则211MMMM和}3,2,6{1n共面，由三向量共面的充要条件得0347326214zyx，整理得所求平面方程7、思路：用平面束。设过直线1l的平面束方程为0)22(12zyxzyx答案：平面方程为0114311zyx118、思路：求交点)1,1,1(，过交点)1,1,1(且垂直于已知直线的平面为01x。答案：101zyxx9、思路：重力的方向可看作与向量k方向相反答案：JggMMFW5880600)6()100(3.0)2(02110、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为00922zxy。原曲线是由旋转抛物面0222xzy被3z平面所截的抛物线。11、思路：||21OBOASOAB，答案：21912、思路：利用平面束方程。答案140117373117zyxzyxC1、证明：设aOA，bOB，cOC，根据三角形法则。则abAB，acAC，bcBC。根据条件,,不全为0，不妨设0，则abaacABaba即AC与AB共线。点CBA,,在一条直线上。2、解：在已知直线L上任取两点)0,1,2(1P，)1,0,0(2P，则向量}2,2,1{,}1,1,3{0201MPMP，则构造直线束方程L：2122131yx，表示过点0M且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当L与L成3角时，有3cos)2(1)2)(1(2)13(，即2124，85所求直线方程为211212231zyx。3、解：设所求直线方程为pznymx41所求直线与已知平面平行，则043pnm（1）12又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点)0,3,1(，则}4,3,0{10MM在平面上。三向量共面，得0430211pnm，即03410pnm（2）由（1）（2），得28:19:16::pnm所求直线方程：28419161zyx4、解：已知两直线的方向向量为}0,3,6{,}1,1,0{21SS，故垂直于两方向向量的向量n可取为kjiSSn66321，又点)0,0,1(在直线1L上过直线1L且平行于2L的平面为066)1(3zyx，即0122zyx，又点)2,0,0(在直线1L上，该点到平面0122zyx的距离12213222d为所求两直线间的最短距离。5、解：设柱面上任意一点),,(zyxM，过M作平行于向量g的母线且准线相交于)0,,(000yxM，又gMM||0，即gMM0，0xx，0yy，z。又0M在圆上，12020yx1)()(22yx，即1)()(22zyzx6、解：13cos2)22)(2lim)()2(lim)()()(lim)(limlim2022002200abaaxbabxbaaxbaxaabxbxaaaaxbaxaaxbaxbaaxbaxaxbaxaxbaxxxxx7、解：对旋转曲面上任一点P(x,y,z)，过P作平面垂直y轴，与y轴的交点为B(0,y,0)，与L的交点为Q(000,,zyx)。因为BQPB，所以202022zxzx又因为Q在L上，所以)1(21,200