92

习题921计算下列二重积分(1)dyxD)(22其中D{(xy)||x|1|y|1}解积分区域可表示为D1x11y1于是dyxD)(22ydyxdx111122)(xdyyx111132]31[xdx112)312(113]3232[xx38(2)dyxD)23(其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域解积分区域可表示为D0x20y2x于是dyxD)23(ydyxdxx2020)23(dxyxyx20022]3[dxxx202)224(0232]324[xxx320(3)dyyxxD)3(223其中D{(xy)|0x10y1}解dyyxxD)3(2231032310)3(dxyyxxdy1001334]4[dyxyyxx103)41(dyyy0142]424[yyy1412141(4)dyxxD)cos(其中D是顶点分别为(00)(0)和()的三角形闭区域解积分区域可表示为D0x0yx于是dyxxD)cos(xdyyxxdx00)cos(00)][sin(dxyxxx0)sin2(sindxxxx0)cos2cos21(xxxd0|)cos2cos21(xxxdxxx0)cos2cos21(232画出积分区域并计算下列二重积分(1)dyxD其中D是由两条抛物线xy2xy所围成的闭区域解积分区域图如并且D{(xy)|0x1xyx2}于是dyxD102dyyxdxxx10223]32[dxyxxx556)3232(10447dxxx(2)dxyD2其中D是由圆周x2y24及y轴所围成的右半闭区域解积分区域图如并且D{(xy)|2y2240yx}于是22402240222222]21[dyyxdxxydydxyyyD1564]10132[)212(22225342yydyyy(3)deyxD其中D{(xy)||x||y|1}解积分区域图如并且D{(xy)|1x0x1yx1}{(xy)|0x1x1yx1}于是11101101xxyxxxyxyxDdyedxedyedxede10110111][][dyeedxeexxyxxxyx101201112)()(dxeedxeexx101201112]21[]21[xxeexxeeee1(4)dxyxD)(22其中D是由直线y2yx及y2x轴所围成的闭区域解积分区域图如并且D{(xy)|0y2yxy21}于是2022232222022]2131[)()(dyxxyxdxxyxdydxyxyyyyD613)832419(2023dyyy3如果二重积分dxdyyxfD),(的被积函数f(xy)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积即f(xy)f1(x)f2(y)积分区域D{(xy)|axbcyd}证明这个二重积分等于两个单积分的乘积即])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD证明dxdyyfxfdyyfxfdxdxdyyfxfdcbadcbaD])()([)()()()(212121而dcdcdyyfxfdyyfxf)()()()(2121故dxdyyfxfdxdyyfxfbadcD])()([)()(2121由于dcdyyf)(2的值是一常数因而可提到积分号的外面于是得])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD4化二重积分dyxfID),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)其中积分区域D是(1)由直线yx及抛物线y24x所围成的闭区域解积分区域如图所示并且D{(xy)|xyxx2,40}或D{(xy)|yxyy241,40}所以xxdyyxfdxI240),(或yydxyxfdyI4402),((2)由x轴及半圆周x2y2r2(y0)所围成的闭区域解积分区域如图所示并且D{(xy)|220,xryrxr}或D{(xy)|2222,0yrxyrry}所以220),(xrrrdyyxfdxI或2222),(0yryrrdxyxfdyI(3)由直线yxx2及双曲线xy1(x0)所围成的闭区域解积分区域如图所示并且D{(xy)|xyxx1,21}或D{(xy)|21,121xyy}{(xy)|2,21xyy}所以xxdyyxfdxI1),(21或22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdyI(4)环形闭区域{(xy)|1x2y24}解如图所示用直线x1和x1可将积分区域D分成四部分分别记做D1D2D3D4于是dyxfdyxfdyxfdyxfIDDDD),(),(),(),(4321222244411112),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx222214442111),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx用直线y1和y1可将积分区域D分成四部分分别记做D1D2D3D4如图所示于是dyxfdyxfdyxfdyxfIDDDD),(),(),(),(4321222244141121),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy222241441211),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy5设f(xy)在D上连续其中D是由直线yx、ya及xb(ba)围成的闭区域证明bybaxabadxyxfdydyyxfdx),(),(证明积分区域如图所示并且积分区域可表示为D{(xy)|axbayx}或D{(xy)|aybyxb}于是dyxfD),(xabadyyxfdx),(或dyxfD),(bybadxyxfdy),(因此bybaxabadxyxfdydyyxfdx),(),(6改换下列二次积分的积分次序(1)ydxyxfdy010),(解由根据积分限可得积分区域D{(xy)|0y10xy}如图因为积分区域还可以表示为D{(xy)|0x1xy1}所以110010),(),(xydyyxfdxdxyxfdy(2)yydxyxfdy2202),(解由根据积分限可得积分区域D{(xy)|0y2y2x2y}如图因为积分区域还可以表示为D{(xy)|0x4xyx2}所以yydxyxfdy2202),(402),(xxdyyxfdx(3)221110),(yydxyxfdy解由根据积分限可得积分区域}11,10|),{(22yxyyyxD如图因为积分区域还可以表示为}10,11|),{(2xyxyxD所以22210111110),(),(xyydyyxfdxdxyxfdy(4)21222),(xxxdyyxfdx解由根据积分限可得积分区域}22,21|),{(2xxyxxyxD如图因为积分区域还可以表示为}112,10|),{(2yxyyyxD所以21222),(xxxdyyxfdx101122),(yydxyxfdy(5)exdyyxfdx1ln0),(解由根据积分限可得积分区域D{(xy)|1xe0ylnx}如图因为积分区域还可以表示为D{(xy)|0y1eyxe}所以exdyyxfdx1ln0),(10),(eeydxyxfdy(6)xxdyyxfdxsin2sin0),((其中a0)．解由根据积分限可得积分区域}sin2sin,0|),{(xyxxyxD如图因为积分区域还可以表示为}arcsin2,01|),{(xyyyxD}arcsinarcsin,10|),{(yxyyyx所以yyyxxdxyxfdydxyxfdydyyxfdxarcsinarcsin10arcsin201sin2sin0),(),(),(7设平面薄片所占的闭区域D由直线xy2yx和x轴所围成它的面密度为(xy)x2y2求该薄片的质量解如图该薄片的质量为dyxMD),(dyxD)(2210222)(yydxyxdy10323]372)2(31[dyyyy34习题928计算由四个平面x0y0x1y1所围成的柱体被平面z0及2x3yz6截得的立体的体积解四个平面所围成的立体如图所求体积为dxdyyxVD)326(1010)326(dyyxdx10102]2326[dxyxyy1027)229(dxx9求由平面x0y0xy1所围成的柱体被平面z0及抛物面x2y26z截得的立体的体积解立体在xOy面上的投影区域为D{(xy)|0x10y1x}所求立体的体积为以曲面z6x2y2为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积即dyxVD)6(22101022)6(xdyyxdx61710求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积解由2222262yxzyxz消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2故立体在xOy面上的投影区域为x2y22因为积分区域关于x及y轴均对称并且被积函数关于xy都是偶函数所以dyxyxVD)]2()26[(2222dyxD)336(222202220)2(12xdyyxdx6)2(82032dxx11画出积分区域把积分dxdyyxfD),(表示为极坐标形式的二次积分其中积分区域D是(1){(xy)|x2y2a2}(a0)解积分区域D如图因为D{()|020a}所以ddfdxdyyxfDD)sin,cos(),(200)sin,cos(dfda(2){(xy)|x2y22x}解积分区域D如图因为}cos20,22|),{(D所以ddfdxdyyxfDD)sin,cos(),(22cos20)sin,cos(dfd