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习题931化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分其中积分区域分别是(1)由双曲抛物面xyz及平面xy10z0所围成的闭区域解积分区域可表示为{(xyz)|0zxy0y1x0x1}于是xyxdzzyxfdydxI01010),,((2)由曲面zx2y2及平面z1所围成的闭区域解积分区域可表示为}11,11,1|),,{(2222xxyxzyxzyx于是111112222),,(yxxxdzzyxfdydxI(3)由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域解曲积分区域可表示为}11,11,22|),,{(22222xxyxxzyxzyx于是22222221111),,(xyxxxdzzyxfdydxI提示曲面zx22y2与z2x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1(4)由曲面czxy(c0)12222byaxz0所围成的在第一卦限内的闭区域解曲积分区域可表示为}0,0,0|),,{(22axxaabycxyzzyx于是cxyabdzzyxfdydxIxaa000),,(22提示区域的上边界曲面为曲面czxy下边界曲面为平面z02设有一物体占有空间闭区域{(xyz)|0x10y10z1}在点(xyz)处的密度为(xyz)xyz计算该物体的质量解101010)(dzzyxdydxdxdydzM1010)21(dyyxdx1010102)1(]2121[dxxdxyyxy23)1(21102x3如果三重积分dxdydzzyxf),,(的被积函数f(xyz)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积即f(xyz)f1(x)f2(y)f3(z)积分区域{(xyz)|axbcydlzm}证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即mldcbadzzfdyyfdxxfdxdydzzfyfxf)()()()()()(321321证明dxdydzzfyfxf)()()(321dxdydzzfyfxfbadcml]))()()(([321dxdydzzfyfxfbadcml]))()()(([321mldcbadxdyyfdzzfxf)])()()()([(231dxxfdyyfdzzfbamldc)]())()()([(123dcbamldxxfdyyfdzzf)())()()((123dcmlbadzzfdyyfdxxf)()()(3214计算dxdydzzxy32其中是由曲面zxy与平面yxx1和z0所围成的闭区域解积分区域可表示为{(xyz)|0zxy0yx0x1}于是dxdydzzxy32xyxdzzdyyxdx030210xxydyzyxdx004210]4[xdyydxx051054136412811012dxx5计算3)1(zyxdxdydz其中为平面x0y0z0xyz1所围成的四面体解积分区域可表示为{(xyz)|0z1xy0y1x0x1}于是3)1(zyxdxdydzyxxdzzyxdydx1031010)1(1xdyyxdx10210]81)1(21[dxxx10]8183)1(21[)852(ln21提示3)1(zyxdxdydzyxxdzzyxdydx1031010)1(1xyxdyzyxdx1010210])1(21[xdyyxdx10210]81)1(21[dxyyxx1010]81)1(21[dxxx10]8183)1(21[102]16183)1ln(21[xxx)852(ln216计算xyzdxdydz其中为球面x2y2z21及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域解积分区域可表示为}10,10,10|),,{(222xxyyxzzyx于是xyzdxdydz222101010xyxxyzdzdydx2102210)1(21xdyyxxydx1022)1(81dxxx4817计算xzdxdydz其中是由平面z0zyy1以及抛物柱面yx2所围成的闭区域解积分区域可表示为{(xyz)|0zyx2y11x1}于是xzdxdydzyxzdzdyxdx011121211221xdyyxdx0)1(61116dxxx8计算zdxdydz其中是由锥面22yxRhz与平面zh(R0h0)所围成的闭区域解当0zh时过(00z)作平行于xOy面的平面截得立体的截面为圆Dz222)(zhRyx故Dz的半径为zhR面积为222zhR于是zdxdydzdxdyzdzzDh0hhRdzzhR02232249利用柱面坐标计算下列三重积分(1)zdv其中是由曲面222yxz及zx2y2所围成的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为0201222z于是zdv1022022zdzdd1042)2(212d127)2(1053d(2)dvyx)(22其中是由曲面x2y22z及平面z2所围成的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为0202222z于是dvyx)(22dzdd2221203202dzdd205320)212(dd2031638d10利用球面坐标计算下列三重积分(1)dvzyx)(222其中是由球面x2y2z21所围成的闭区域解在球面坐标下积分区域可表示为0200r1于是dvzyx)(222ddrdrsin4104020sindrrdd54(2)zdv其中闭区域由不等式x2y2(za)2a2x2y2z2所确定解在球面坐标下积分区域可表示为cos20,40,20ar于是zdvddrdrrsincos2404)cos2(41cossin2da4405467cossin8ada11选用适当的坐标计算下列三重积分(1)xydv其中为柱面x2y21及平面z1z0x0y0所围成的在第一卦限内的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为10,10,20z于是xydvdzddsincos101032081cossindzdd别解用直角坐标计算xydv1010102dzydyxdxx21010xydyxdx103)22(dxxx81]84[1042xx(2)dvzyx222其中是由球面x2y2z2z所围成的闭区域解在球面坐标下积分区域可表示为cos0,20,20r于是dvzyx222cos022020sindrrrdd10cos41sin2204d(3)dvyx)(22其中是由曲面4z225(x2y2)及平面z5所围成的闭区域解在柱面坐标下积分区域可表示为525,20,20z于是dvyx)(2252520320dzdd8)255(2203d(4)dvyx)(22其中闭区域由不等式Azyxa2220z0所确定解在球面坐标下积分区域可表示为Ara,20,20于是dvyx)(22ddrdrrrsin)sinsincossin(2222222)(154sin55420320aAdrrddAa12利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)z6x2y2及22yxz解在柱面坐标下积分区域可表示为0202z62于是dzdddvV262020dzdd2032332)6(2d(2)x2y2z22az(a0)及x2y2z2(含有z轴的部分)解在球面坐标下积分区域可表示为cos20,40,20ar于是ddrdrdvVsin2cos2024020sinadrrdd34033sincos382ada(3)22yxz及zx2y2解在柱面坐标下积分区域可表示为02012z于是6)(2103210202ddzdddvV(4)225yxz及x2y24z解在柱面坐标下积分区域可表示为22541,20,20z于是225412020dzddV)455(32)45(22022d13球心在原点、半径为R的球体在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比求这球体的质量解密度函数为222),,(zyxkzyx在球面坐标下积分区域可表示为0200rR于是dvzyxkM222400220sinRkdrrkrddR