公共基础数理化精讲班第一章高等数学十三1534828855681

环球网校学员专用资料第1页/共3页第6章重积分第一节：二重积分1．二重积分的概念、性质与重要结论（1）定义：iniiiDfdyxf),(lim),(10（2）二重积分的性质1）[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd2）(,)(,)DDkfxydkfxyd(k为常数）3）12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd（12DDD）4）Dd（是区域D的面积）（3）重要结论：如果积分区域D关于x轴对称，被积函数关于y为奇（偶），则积分为零（积分等于D位于x轴右半部分积D分的两倍）。如果积分区域关于y轴对称，被积函数关于x为奇（偶），则积分为零（积分等于位D于y轴上半部分积分的两倍）。2．二重积分的计算二重积分的计算都是通过两次定积分来完成。（1）在直角坐标系计算如果将D看成为X一型域，则D：)()(21xyxbxa，这时baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(如果将D看成为Y－型域，则D：)()(21yxydyc，这时dcxxDdxyxfdydyxf)()(21),(),(环球网校学员专用资料第2页/共3页【例题6-1】设D是曲线2xy与1y所围闭区域,Dxd2等于:(A)1(B)21(C)0(D)2解:将D看成为X一型区域，这时211,1xxy，Dxd2211121122(1)0xxdxdyxxdx故应选(C).注：由于积分区域关于Y轴对称，被积函数关于X是奇函数，积分为零。【例题6-2】二次积分210(,)xxdxfxydy交换积分次序后的二次积分是:（A）210(,)xxdyfxydx（B）210(,)yydyfxydx（C）10(,)yydyfxydx（D）10(,)yydyfxydx解:将积分区域D看成Y-型区域，则:01,Dyyxy,故有210(,)xxdxfxydy=10(,)yydyfxydx，应选（D）.（2）在极坐标下计算当积分区域为圆、环、扇形等图形或被积函数含有22yx的因子时,用直角坐标计算比较困难，有时甚至无法计算，这时可采用极坐标计算.直角坐标和极坐标系的转换关为sincosryrx，先将直角坐标下的二重积分化到极坐标下DDrdrdrrfdyxf)sin,cos(),(环球网校学员专用资料第3页/共3页再将极坐标下的二重积分化为两次积分，一般采用先对r后对的积分顺序。【例题6-3】设D是由,0yxy及22(0)yaxx所围成的第一象限区域,则二重积分Ddxdy等于:(A)218a(B)214a(C)238a(D)212a解：积分区域D如图扇形区域，在极坐标下有D：0,04ra，故有2240011428aDDdxdyrdrddrdraa答案：A。注：该题也可利用二重积分几何意义，积分Ddxdy等于区域D的面积。