矢量张量公式及推导

矢量及张量1.协变基矢量：321ggga321aaa，ia称为逆变基分量，ig是协变基矢量。2.逆变基矢量：321ggga321aaa，ia称为协变基分量，ig是逆变基矢量。3.爱因斯坦求和约定：省略求和符号，iiggaiiaa4.逆变基于协变基的关系：jijigg5.标积：iijijibabaggba6.坐标转换系数ii'：iiiiiiiiiiixxxxxxggrrg'''''7.转换系数的性质：ijkjik''，因为''''mlmjiljiijgggg8.张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''iiiiiikkiivvvgggv9.置换张量：ijkkjiijkeg][ggg，其中][321gggg，同理有ijkkjiijkeg1][ggg由行列式的性质及线性][][]['''''''''nmlnkmjlinnkmmjllikjiggggggggg，因此ijk是张量分量。定义置换张量：kjiijkkjiijkggggggε10.基的叉积：klijlijkkjiggggg，所以lijljiggg，lijljiggg11.叉积：kijkjijijibabagggba，或写成实体形式ε:abab:εba，双标量积用前前后后规则完成。12.混和积：abcεggggggcbaijkkjikjikjikkjjiicbacbacba],,[],,[],,[13.rstijkrstijkktkskrjtjsjritisiree，有以上关系可得14.重要关系：ksjtktjsistijkktktktkjjtktjjijtijk2362kkijkijk15.反偶：反对称二阶张量Ω满足Ω:εω21，其中ω是一矢量，则称ω与Ω互为反偶16.反偶的性质：εωωεΩuωuΩ17.证明：mimmmiklmilkmimklklmjlmijkkjijkjijuΩuΩuΩuΩεεuωεuΩ2121)(2121由于Ω是反对称张量，上式得证同理jiijlmjlimjmillmklmijkkijkijΩΩΩΩεεωεΩ2121)(212118.另外同样可以证明两对反偶有：⑵⑴⑵⑴Ω:Ωωω21几个矢量公式及其证明：1.acbbcacba)()()(证明：分量m有mllmiijlimjmilljiklmijkljiklmlijkjiacbbcacbacbacba)(2.)]([)]([)]([)]([()()(dcbadcabcbaddbacdcba证明：nijkkjinijkkjisnrkskrnijksrjiktnrstsrijkjidcbacdbadcbadcba)(另一半同理可得。3.dbcbdacadcba)()(证明：kkjjkkjjnmkjkmjnknjmnmkjimnijkcbdadbcadcbadcbaεε)(度量张量：1.定义jiijggg为度量张量的分量，显然jiijgg2.jijiggg：设jijiagg，所以ijjkikjiijaaggggg，则jijiggg3.逆变张量的逆jikjikgg：kjikjkikjijiggggggg4.度量张量与张量分量：ikikTTg，原因iikkkkiigTTTgggT克里斯托夫符号：1.第二类克里斯托夫符号：kkijijxgg，kij称为第二类克里斯托夫符号2.第一类克里斯托夫符号：kkijijxgg,，kij,称为第一类克里斯托夫符号3.两类克里斯托夫符号的关系，由ijg和定义可知rijrkkijg,4.克里斯托夫符号不是张量，仿射坐标中为0，曲坐标中不为0，其分量不可能满足坐标变换关系。5.逆变基导数：pijpjixgg，因为：pijpjiijppjijpipjijpijipxxxxxxgggggggggg0)(06.第一类克里斯托夫符号对称性kjikij,,：因kjikijkijkijxxxx,2,rrgg7.第二类的对称性rjirij：由于rijrkkijg,，可知kijrkrijrkrkrijggg,8.第二类克里斯托夫的坐标转换公式：''2''''''lkjilkjikkjjiikijxxxxx证明：kijjjkkiikkijkkjijjkkiikkijkkjikkiikikkijikkkiiijkjikjixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx''''''2''''''2''''''2'''''''''gggggggggg9.g与克里斯托夫符号的一个关系：gxgjjii证明：gxxxxxgjjiiiikkikkikkiiiiii321333212232111321321321321321321321)()()()()()()()()()(gggggggggggggggggggggggggggggg张量对坐标的导数：kjimlkijmjmlimkimlmjklijkmjiklmijkkmimjlijkkjmmilijkkjilijkjilkijkkiljijkkjliijkkjilijklkjiijklTTTxTTTTxTxTxTxTxTxTxggggggggggggggggggggggggggggggT)()(分量表现形式的导数，协变导数：1.由张量的导数，定义张量的协变导数：mlkijmjmlimkimlmjklijkijlkijklTTTxTTT;2.由张量的协变导数和克里斯托夫的坐标转换公式可以证明协变导数是张量的分量。3.为了证明这点，先注意ijiilijlikklijlkilkijlxxxxxxxxxxxxxxxx'2'''2'''2'''2证明：iijijjjiiijjiijijjiijijjiiijjjjiFxxxxFFxxxxxxxxFxxxxFxxxxF'2''''2'''''''…⑴''2''''''lkjilkjikkjjiikijxxxxx两边同乘'ik并遍历k求和，得：jiiijljjlijiikjlikkkjjlikijikxxxxxx'2''''''2''''''''，代入⑴式得：imjmjiiijjijmmjiFxFFxF''''''''即：ijiijjijFF;;''''4.由于协变导数是张量分量，所以ijkiijkjijkjFFFgFg;;5.同样j可由jxT导出，称为逆变导数6.逆变导数及协变导数构成的张量实体：jjjjxxgTgT梯度散度和旋度：1.梯度：llllxxgTTTgT,2.散度：llllxxgTTTgT,3.旋度：llllxxgTTTgT,几个协变导数：由于张量实体不因坐标变化而变化，如果某张量的各分量在直角坐标系下为0，则该张量为0。容易知道在任意标系下有，0jkijkigg，0jki，0jkmijkmi，由于协变导数是张量分量，在任意坐标系下上三式成立。几个微分向量公式：1.hhhAAA)(hAAhhAiiiiii)(2.hhhAAA)(hAAhhAAhhAijjikjiijkijijkjiijkjiijk)(3.)()()(BAABBAkijjikkjiijkkijijkkjiijkkjijkiBABABABABA)(4.BABABAABBA)()()()()(ijjjjiijjjijmjljlimjmilmljjlimjmilmjlklmijkmljklmijkmlklmjijkBABABABABABABABABA)()()(5.)()()()()(BAABBAABBA)()()(jjijijjijijjjijijjjijijjijjmljmiljmjlimljmiljmjliijjijjmlklmjijkmlklmjijkijjijjBABAABBABAABABBAABBAABBAABBAABBAAB6.AAA2)()(ijjjijmljjlimjmilmljklmijkmlklmjijkAAAAA)()(7.2)()(2AAAAA2/)(jjmjmjmjjjmjmjjmljjlimjmilmjjmlklmjijkmjjAAAAAAAAAAAAAAAAAA张量的积分定理：1.对封闭曲面a有0aad，由于对任意常矢量k有0akad由k的任意性可知2.0gggggggkkiikiikiiiiiiiixgxggxgxgxgxg)(3.avddva，证明：dvxdxdxdxxgdxdxdxxgdxdxdxxgdxdxdxgxdxdxgdxdxdxgxgdmmmmmmmmmmagggggggga32132132132132)1(132111)1(1)()()(4.列出类似关系式：avddva和addvavavddva和addvavavddva和addvav5.斯托克斯公式faddfa)(和faddfa)(证明：三角区域sd，td，)(tsd边上的张量取边中点的值，:sttstssttttstsssf)(21)(21)(21)21()])(21[)()21(dddddddddddddddddf记反对称张量Ωstts)(21ddddΩ的反偶矢量为atsstts:εΩ:εωddddddd21)(212121又εaωεΩd)(a:εa:Ωfdddf6.faddfa和faddfa证明：三角区域sd，td，)(tsd边上的张量取边中点的值，