求数列通项公式的方法(教案+例题+习题)

求数列的通项公式的方法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.解：设数列na公差为)0(dd∵931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，即)8()2(1121daadadad12∵0d，∴da1………………………………①∵255aS∴211)4(2455dada…………②由①②得：531a，53d∴nnan5353)1(53点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练：已知数列,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________；2.公式法：已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例2．已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122(1),nnnaa,)1(22221nnnaa……，.2212aa11221122(1)2(1)2(1)nnnnnaa].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211nnnnnnnnn经验证11a也满足上式，所以])1(2[3212nnna点评：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．练一练：①已知{}na的前n项和满足2log(1)1nSn，求na；②数列{}na满足11154,3nnnaSSa，求na；3.作商法：已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。如数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa______；4.累加法：若1()nnaafn求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。例3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121如已知数列{}na满足11a，nnaann111(2)n，则na=________；5.累乘法：已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。例4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32如已知数列}{na中，21a，前n项和nS，若nnanS2，求na6.已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。①1nnakab解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例5.已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb所以nb是以41b为首项，2为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.②1nnnakab解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用1nnakab的方法解决.。例6.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb,应用例7解法得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32练一练①已知111,32nnaaa，求na；②已知111,32nnnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。例7：1,13111aaaannn解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan练一练：已知数列满足1a=1，11nnnnaaaa，求na；数列通项公式课后练习1已知数列na中，满足a1＝６，a1n+1=2(an+1)（n∈N）求数列na的通项公式。2已知数列na中，an＞0,且a1＝３，1na＝na＋１（n∈N）3已知数列na中，a1＝３，a1n＝21an＋１（n∈N）求数列na的通项公式4已知数列na中，a1＝１，a1n＝3an＋２，求数列na的通项公式5已知数列na中，an≠０，a1＝21，a1n＝nnaa21（n∈N）求an6设数列na满足a1=4，a2=2，a3=1若数列nnaa1成等差数列，求an7设数列na中，a1=2，a1n=2an+1求通项公式an8已知数列na中，a1=1，2a1n=an+a2n求an