分析力学-清华大学基科班课件

分析力学讲义2010－2011学年秋季学期基科91－98使用2011－09目录目录1绪论1§0．1．经典力学发展简史§0．2．理论力学和本课程的内容简介§0．3．分析力学的特点§0．4．经典力学的基本概念§0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议第一部分矢量力学第一章质点力学6§1．1．质点运动学位矢，速度和加速度§1．2．直角坐标系§1．3．约束和广义坐标§1．4．曲线坐标系§1．5．“自然坐标系”§1．6．质点动力学质量和力§1．7．质点的三个动力学定理动量角动量机械能（动能和势能）§1．8．中心力场§1．9．与距离平方成反比的有势中心力场§1．10．散射截面第二章质点系力学27§2．1．质点系运动学§2．2．约束和广义坐标（§1．3．之续）§2．3．质点系的牛顿动力学方程组§2．4．两体问题§2．5．碰撞与散射第三章刚体力学40§3．1．刚体运动学§3．2．描述刚体运动的坐标系§3．3．刚体的角速度§3．4．刚体任一点的线速度和线加速度§3．5．不同参照系的速度加速度间的关系§3．6．刚体动力学的基本概念§3．7．欧拉动力学方程§3．8．刚体定点转动的几种特殊情况1§3．9．非惯性参照系中的动力学方程惯性力第二部分拉格朗日力学第四章分析力学的基本概念和基本原理63§4．1．分析力学的基本概念§4．2．变分法§4．3．哈密顿原理第五章拉格朗日方程76§5．1．拉格朗日方程§5．2．拉格朗日方程的解§5．3．例题§5．4．虚功原理(虚位移原理)§5．5．拉格朗日方程的研究第六章简单的可积系统100§6．1．可积系统和不可积系统§6．2．一个自由度的力学系统§6．3．多自由度力学体系的微振动§6．4．简正坐标、简正频率和简正振动§6．5．微振动理论的应用实例§6．6．开普勒问题第三部分哈密顿力学第七章哈密顿正则方程113§7．1．哈密顿正则方程§7．2．哈密顿正则方程的解和积分§7．3．哈密顿正则方程的应用举例§7．4．哈密顿正则方程的研究第八章正则变换126§8．1．正则变换§8．2．正则变换的条件§8．3．无穷小正则变换§8．4．哈密顿—雅可比方程§8．5．作用变量和角变量§8．6．泊松（Poisson）括号附录154A1．一般曲线坐标系下的运动学23A2．矢量分析和场论简介A3．角速度是轴矢量A4．Cayley-Klein参量A5．作平面平行运动的刚体对瞬时转动中心的角动量定理A6．Noether(Nöther)定理A7．关于变分原理A8．Legendre变换A9．Routh函数A10．关于相空间中的积分不变量A11.正则变换的补充知识分析力学2010，9－2011，1绪论§0．1．经典力学发展简史经典力学（力学）的研究对象是宏观物体机械运动的规律；而牛顿力学，即以牛顿建立的理论框架表述的经典力学，研究宏观物体的低速机械运动的规律。宏观物体系指和人体大小可比拟或比人体大得多的物体；低速系指远小于光速的运动速度。至于高速（宏观）物体的运动规律则为爱因斯坦（1879－1955）建立的相对论（经典）力学所表述；微观物体的运动规律则为（非相对论的和相对论的）量子力学所表述。伽利略（1564-1642）继承了古代原子论和数理哲学的优秀遗产，并在实验实践的基础上发扬光大，使物理学成为一门精密的实验科学。伽利略也因而被誉为实验物理学之父。牛顿（1643－1727）集前人之大成，在总结前人成果的基础上，以F=mr为核心，创立了公理化的经典力学理论体系。牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的理论基础，（参阅[1]§）（这个理论体系特点为：以直观的几何的图像为基础，以三维空间的矢量代数和矢量分析为基本数学工具；因而被称为矢量力学）为整个物理学的发展提供了一个坚实的起点平台。牛顿建立了万有引力定律，是使得人类彻底摆脱了神界的一次思想大解放。1.1牛顿的贡献当然也有其局限性，这也体现了科学发展过程中人类认识的历史局限性。特别是，牛顿的初衷，是希望把他的理论框架发展成为“自然哲学”——广义的物理学的基础，随着时间的推移，日益显出其局限性来。经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学家实验和理论的研究，拉格朗日，哈密顿等人发展了牛顿力学，广泛地运用数学分析微分几何等数学工具，深刻揭示经典力学的规律，完善并突破了以F=mr为核心的牛顿力学的理论框架（矢量力学）；构建起了现代形式的理论体系，称为分析力学。分析力学的建立和发展，对牛顿的理论体系进行了脱胎换骨的改造，使牛顿的理论框架变得“面目全非”，却使得现代形式的理论体系日益成为自然哲学（物理学）的理论基础。我们通常所说的牛顿力学，就其形式而言，是指矢量力学；但就其实质而言，就是经典力学；因为经典力学后来的发展，都能在牛顿力学中找到明确的源头。甚至几乎所有近代物理学的发展都可直接或间接地在牛顿力学中找到渊源，牛顿力学的发展，以至于物理学许多领域的发展，与其说是对牛顿理论缺陷的揭示，倒不如说是对牛顿理论内在价值的追认。从牛顿、伽利略到拉格朗日，哈密顿，从矢量力学到分析力学，经典力学虽然已经有了长足的发展，有了相当完整的理论体系，但是这决不意味着经典力学已经发展到顶了。作为一门基础学科，人类实践和相关各学科实验与理论的研究不断给经典力学提出各种新问题，不断拓展着经典力学新的研究领域。还应指出，经典力学的理论体系与经过高度抽象的数学的公理体系还是有所不同，物理学本质上是一门实验科学，物理理论的直接的深厚基础是丰富的实验事实。早年人们认为，经典力学是确定性的理论（在相当一般的条件下，牛顿方程的解是存在唯一的），庞卡莱（Poincaré1854－1913）早在一个世纪前就发现，确定性理论中存在着随机性。现在人们认识到，在非线性问题中，由于绝大多数问题的不可积性，随机性是普遍存在的。§0．2．理论力学和本课程的内容简介目前理工科大学里设置的介绍经典力学的课程通常称为理论力学，按其内容分为运动1学、静力学和动力学。运动学研究对机械运动的描述方法，不涉及机械运动变化的原因；动力学则是研究机械运动变化的原因。静力学研究机械运动的一种特殊状态——平衡的理论。（参见表0－1）表0－1理论力学课程的内容概要理论力学矢量力学分析力学运动学几种常用的坐标系广义坐标（任意曲线坐标系）静力学力系的平衡（静力学）虚功原理动力学牛顿定律（动力学定理）达朗贝尔方程（动力学虚功原理）（拉格朗日方程，哈密顿理论等）由于各专业的不同要求，同样名为理论力学的课程有不同的类型；同样名为理论力学的教材或专著也有不同的侧重面。除了力学专业的理论力学课程有其自身的专业要求以外，工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分；对于物理专业而言，阐述经典力学普遍规律的理论力学课程，是物理专业的专业基础课四大力学之一，是普通物理课程力学部分的继续和加深，也是许多后续课程的必备基础。目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析力学两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数学工具，后者采用更多数学分析的方法。由于矢量力学大部分内容已在普通物理课程中讲授，本课程内容以分析力学为主，主要讲授分析力学的基本概念和基本原理、拉格朗日力学和哈密顿力学等内容，课程名称也改称分析力学。但也要讲一些矢量力学的内容，既为梳理矢量力学的基础知识，又作内容上的必要补充，但更着重于方法上的更新，为学习分析力学作好准备。根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的一个特例，不作为教学的重点。因此本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的一个特例。由于课时的关系，在本课程里不涉及相对论力学和非线性力学。§0．3．分析力学的特点数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。分析力学的理论概括性比较强，能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，也能对多样化的力学问题作统一的程式化的处理；因而便于阐述力学的普遍原理，也便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。正因为如此，分析力学也比较抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自己能构造一些实例以加深理解当然更好。分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。分析力学着眼于整个力学体系（而矢量力学中往往采用隔离体图，着眼于各个组成部分的受力和运动情况），因而界定一个力学体系的范围，分清体系的内和外显得格外重要。分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法，所得结果当然应该一致。在矢量力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解，但是两者不可能得到相互矛盾的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。§0．4．经典力学的基本概念1．经典力学的时空观参考系经典力学的任务是研究机械运动的规律。机械运动是物体在空间的位置和取向随时间发生变化，是物理学所研究的各种运动形式中最简单，也是最基本的一种。为此我们先对经典力学的时空观作一简单的说明。(参阅[3]32页)空间和时间不仅是一个物理概念，而且具有深刻的哲学意义。空间和时间是物质存在的2客观形式，不存在脱离物质的绝对空间和绝对时间。牛顿力学中的现实空间是三维欧几里得空间，时间是一维的。空间和时间的变化都是连续的。既然不存在脱离物质的绝对空间，为了描述物体在空间的机械运动，必须选定一个物体或一些物体的集合作参考标准，称为参考系，由参考物体的刚性延伸得到的三维空间称为参考空间；为了描述时间的变化，必须选定一些事件或变化着的物体的状态作为时间零点和时间进程的参考标准。参考系有无限多种可能的选取方式，在相互作任意相对运动的不同参考系中,在给定的时刻给定空间间隔的大小是相同的（空间两点间的距离不因参考系的不同而变化）；某一给定的时间间隔的持续时间是相同的。（时间的绝对性）因此在不同的参考系中可以选取同样的时间零点和时间进程。时间的这种“绝对性”是牛顿力学的一个基本假定。随着物理学的发展，空间和时间的观念是在不断变化和发展的。牛顿力学的时空观反映了人类在一定历史阶段对空间和时间的认识。按照爱因斯坦的相对论，这样的时空观只是在运动速度不大，引力场不强的情况下近似正确。从运动学的观点来看，各个参考系是相互平等的。但是，适当选择参考系能使运动状态的描述变得简单，因而问题变得容易解决。从动力学的观点来看，有一类参考系具有特殊的地位，那就是惯性参考系。参考系没有静止与运动之分，只存在参考系之间的相对运动，当然也就不存在绝对静止的参考系。有时为了叙述的方便,说惯性系是静止的，其实相对于一个惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。最常用的参考系是以地球为参考物的参考系，这是一个近似的惯性系。当两个参考系以恒定速度作相对运动时，有伽利略变换。从一个惯性系到另一个惯性系的变换是伽利略变换。质点的加速度是伽利略变换下的不变量。2．力学体系我们把经典力学的研究对象称为力学体系。一般的力学体系都可以视作质点系，质量连续分布的力学体系也可离散化而处理成质点系，因此质点系是经典力学最一般的研究对象。质点是组成力学体系的最小单元，也是最简单的力学体系。刚体是一类特殊的质点系。质点、刚体、若干个质点组成的质点系以及若干质点和刚体组成的力学体系是我们这门课程的研究对象。大量质点组成的质点系是统计力学的研究对象。一般的质量连续分布的可以产生形变的质点系是流体力学或弹性力学的研究对象。质点和刚体都是实际的宏观物体的抽象；不存在绝对的质点或刚体。一个宏观物体能否视作质点或刚体，不仅取决于物体本身的特点，而且取决于所研究问题的特点。分析力学中，我们一般着眼于整个力学体系；因此界定力学体系的范围，分清力学体系的“内”和“外”尤为重要。为什么要把力学体系作为整体来进行研究？组成力学体系的各部分之间往往存在着约束，存在着相互作用力（包括约束力）；从而使单个质点或刚体的运动情况的描述变得