【运算定律与简便计算】知识篇

加、减法的速算与巧算(基础篇)1、加法运算定律（2个）：☆加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即：a+b=b+a☆加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。即：(a+b)+c=a+(b+c)（提醒：运用加法结合律时，要注意把结合的两个数用括号括起来。）连加的简便计算方法：①使用加法交换律、结合律凑整（把和是整十、整百、整千的数先交换再结合在一起。）②个位：1与9，2与8，3与7，4与6，5与5，结合。③十位：0与9，1与8，2与7，3与6，4与5，结合。连加的简便计算例题：50+98+50488+40+60１６５+９３+３５65+28+35+72＝50+50+98＝488+（40+60）＝９３+１６５+３５＝（65+35）+（28+72）＝100+98＝488+100＝９３+（１６５+３５）＝100+100＝198＝588＝293＝2002、连减的性质：☆一个数连续减去几个数等于这个数减去这几个数的和。即：a–b–c=a–(b+c)注：连减的性质逆用：a–(b+c)=a–b–c=a–c–b☆一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。即：a－b－c＝a—c－b连减的简便计算方法：①连续减去几个数就等于减去这几个数的和。如：106-26-74=106-(26+74)②连续减去两个数可以先减去后一个数再减去前一个数。如：226-58-26=226-26-58③减去几个数的和就等于连续减去这几个数。如：106-(26+74)=106-26-74连减的简便计算例题：528—65—35528—89—128528—（150+128）=528—（65+35）=528—128—89=528—128—150=528—100=400—89=400—150=428=311=2503、加、减法混合运算的性质：在计算没有括号的加、减混合运算时，计算时可以带着运算符号“搬家”。即：a+b–c=a–c+b加、减混合的简便计算方法：在没有括号的加、减混合运算时，第一个数的位置不变，其余的加数、减数可以带着运算符号“搬家”。例如：123+38-23=123-23+38146-78+54=146+54-78加、减混合的简便计算例题：256－58+44123+38-23=256+44－58=123-23+38=300－58=100+38=242=1384、加、减法运算的性质：在加法或减法运算中，当算式中的数接近整十、整百数时，可以利用如下原则：多加了要减去；多减了要加上；少加了要加上；少减了要减去。加、减法的简便计算例题：324+98762-598123+104328-209=324+100-2=762-600+2=123+100+4=328-200-9=424-2=162+2=223+4=128-9=422=164=227=1195、利用“移多补少法”进行简便计算：几个数相加，当加数都比较接近某一个数时，可以把这一个数作为基准数，其它的数与基准数相比较，利用移多补少的方法进行运算。如：256+249+251+246=250×4+（6-1+1-4）…………以250为基准数=1000+2=10026、利用高斯的想法简便计算：总和=（首项+末项）×（项数÷2）如：1+2+3+4+······+96+97+98+99+100=（1+100）×（100÷2）=101×50=5050乘、除法的速算与巧算1、乘法运算定律（3个）：☆乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即：a×b=b×a☆乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。即：(a×b)×c=a×(b×c)连乘的简便计算方法：①使用乘法交换律、结合律凑整（把积是整十、整百、整千的数先交换再结合在一起。）②把常见的数结合在一起25与4；125与8；125与80等。③看见25就去找4，看见125就去找8。④常用口算：2×5=10；4×25=100；8×125=1000；80×125=10000；625×16=10000；25×8=200；75×4=300；375×8=3000。连乘的简便计算例题：25×56×499×125×825×125×4×8＝25×4×56＝99×(125×8)＝(25×4)×(125×8)＝100×56＝99×1000＝100×1000＝5600＝99000＝100000☆乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再把所得的积相加（或相减）。即：(a±b)×c=a×c±b×c注：乘法分配律的逆用：a×c±b×c=(a±b)×c乘法分配律的理解：利用乘法的意义进行理解：a＋b个c等于a个c加上b个c，而不能单纯地依靠记忆，只有这样才能在运算中熟练运用，减少失误。乘法分配律简算应用：①类型一：(a＋b)×c=a×c＋b×c(a－b)×c=a×c－b×c②类型二：a×c＋b×c=(a＋b)×ca×c－b×c=(a－b)×c③类型三：a×99＋a=a×(99＋1)a×b－a=a×(b－1)④类型四：a×99a×102=a×(100－1)=a×(100＋2)=a×100－a×1=a×100＋a×2乘法分配律简算举例：分解式：25×(40+4)合并式：135×12－135×2＝25×40+25×4＝135×(12－2)＝1000+100＝135×10＝1100＝1350特殊1：99×256+256特殊2：45×102＝99×256+256×1＝45×(100+2)＝256×(99+1)＝45×100+45×2＝256×100＝4500+90＝25600＝4590特殊3：99×26特殊4：35×8+35×6－4×35＝(100－1)×26＝35×(8+6－4)＝100×26－1×26＝35×10＝2600－26＝350＝2574★乘法结合律与乘法分配律的区别：乘法结合律的特征是几个数连乘。乘法分配律特征是两数的和乘一个数或两个积的和。（40×4）×25和（40+4）×25=40×（4×25）=40×25+4×25=40×100=1000+100=4000=110015×（8×4）和15×（8+4）；=15×8×4=15×8+15×4=120×2=120+60=240=1802、（推广）除法分配律：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再把所得的商相加（或相减）。即：(a±b)÷c=a÷c±b÷c注：除法分配律的逆用：a÷c±b÷c=(a±b)÷c3、连除的性质：☆一个数连续除以几个数等于这个数除以这几个数的积。即：a÷b÷c=a÷(b×c)注：连除的性质逆用：a÷(b×c)=a÷b÷c☆一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。即：a÷b÷c＝a÷c÷b连除的简便计算方法：①连续除以几个数等于这个数除以这几个数的积。如：300÷25÷4=300÷（25×4）；②除以几个数的积就等于连续除以这几个数。如：300÷（25×3）=300÷3÷25；③连续除以两个数可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。如420÷4÷7=420÷7÷4；连除的简便计算例题：3200÷25÷43000÷（25×30）4200÷4÷70360÷24=3200÷（25×4）=3000÷30÷25=4200÷70÷4=360÷（6×4）=3200÷100=100÷25=60÷4=360÷6÷4=32=4=15=154、乘、除法运算的性质：在计算没有括号的乘、除混合运算时，计算时可以带着运算符号“搬家”。即：a×b÷c=a÷c×b乘、除混合的简便计算方法：在计算没有括号的乘、除混合运算时，第一个数的位置不变，其余的因数、除数可以带着运算符号“搬家”。例如：27×13÷9=27÷9×13乘、除混合的简便计算例题：27×13÷9250÷8×4=27÷9×13=250×4÷8=3×13=1000÷8=39=1255、积不变规律：a×b=(a×n)×(b÷n)=(a÷n)×(b×n)(n≠0)商不变规律：a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)6、一题多解举例：利用乘法结合律：利用乘法分配律：利用积不变规律：125×88125×88125×88=125×（8×11）=125×（80+8）=（125×8）×（88÷8）=（125×8）×11=125×80+125×8=1000×11=1000×11=10000+1000=11000=11000=11000★计算时要自觉运用定理使计算简便：一看：运算符号，数据特点；二想：如何简算，依据是何；三算：认真计算，小心别错；四查：细心检查，准确无误。★易错题（运算顺序错误）（1）120×4÷120×4（2）735-35×20（3）36-36÷6-6（4）100-36+64（5）102+1-102+1（6）25×99+99