圆内接四边形的性质

11.2.5圆内接四边形的性质1、（1）圆的内接四边形对角互补。如图：四边形ABCD内接于⊙o，则有：∠A＋∠B=1800.∠B＋∠C=1800.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。如图：∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角，则有：∠CBE=∠D.2、圆内接四边形的判定。（1）判定定理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。（2）推论；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。〖例1〗如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG.求证：∠CFG=∠DGF.分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。所以∠ECF=∠EAG.又因为EG平分∠BEC,即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC=∠EGA.而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC,所以∠CFG=∠DGF.3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言：∵PT切⊙0于T,PBA是⊙0的割线.∴PT2=PA·PB(切割线定理)4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。几何语言：∵PT是⊙0的切线，PBA、PDC是⊙0的割线.∴PO·PC=PA·PB(割线定理)由上可知：PT2=PA·PB=PC·PD.5、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）证明：连结AB，CD由圆周角定理的推论，得∠A=∠C，∠B=∠D。（圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等）∴△PAB∽△PCD∴PA∶PC=PB∶PD，PA·PD=PB·PC6、弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的圆周角度数。如上图，已知:直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。求证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC证明:设圆心为O，连接OC，OB,。∵PC²=PB·AP∴PC/AP=PB/PC又∵∠CPB=∠BPC∴△CAP∽△BCP∴∠CAP=∠BCP∴∠TCB=∠BAC∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC