二倍角的正弦、余弦、正切学案

二倍角的正弦、余弦、正切学案1.公式推导：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα；cos2α=cos(α+α)=cosαcosα–sinsαsinα=cos2α-sin2α；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢？cos2α=cos2α-sin2α=1-sin2α-sin2α=1-2sin2α；cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-1+cos2α=2sin2α-1；tan2α=tan(α+α)=1tantantantan=221tantan；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3.公式的逆用、变形(1)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，注：(1)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(2)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(3)公式S2α,C2α中的角α没有限制，都是α∈R，但公式T2α需在α≠2+k和2α≠2+k(k∈Z)时才成立，但是当α=2+k，k∈Z时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式；(4)二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，2是4的二倍，3α是32的二倍，3是6的二倍，2-α是4-2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。4.典型例题剖析例1.已知sin2α=513，4α2，求sin4α，cos4α，tan4α的值。变式练习.已知cos8=-45，8πα12π，求sin4，cos4，tan4的值。例2.已知tan2α=13，求tanα的值。变式练习.已知tanα=17，tanβ=13，求tan(α+2β)的值。例3.在△ABC中，cosA=54，tanB=2，求tan(2A+2B)的值。变式练习.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．例4.已知，且，求的值变式练习.已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，求cos(α－β)的值例5.已知函数xxxy22cos2)cos(sin（1）求它的递减区间；（2）求它的最大值和最小值变式练习.已知函数xxxxxf44sincossin2cos)(（1）求)(xf的最小正周期；（2）当2,0x时，求)(xf的最小值及取得最小值时x的集合。反思总结对于这些公式，应该熟练掌握它们的特征及它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式；同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用；在应用公式解题时，关键是弄清已知角和需要求解的角及它们之间的关系。当堂检测1．sin2230cos2230=___________；2．2cos28-1=___________；3．sin28-cos28=___________；4．8sin48cos48cos24cos12=___________；5．(sin125+cos125)(sin125-cos125)=___________；6．cos42-sin42=___________；7．11tan-11tan==___________；8．1+2cos2θ-cos2θ=___________；9.若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，求sinθ的值10.已知tanα2＝12，求1＋sin2α1＋sin2α＋cos2α的值．11.已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．课后强化训练1.已知1802α270，化简222cossin=()A.-3cosαB.3cosαC.-3cosαD.3sinα-3cosα2.已知(25,3)，化简1sin+1sin=()A.-2cos2B.2cos2C.-2sin2D.2sin23.已知sin2=35，cos2=-45，则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.若tan=3，求sin2cos2的值。5.已知已知sin=513，(2,)，求sin2，cos2，tan2的值。6.已知sin(+4)sin(-4)=16，(2,)，求sin4的值。7.已知tan(-2)=12，tan(-2)=-13，求tan(α+β)的值。8.已知函数f(x)＝sin2x＋π3＋sin2x－π3＋2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值和最小值．