[2020理数]第五章--第三节-第2课时-系统题型——平面向量的数量积及应用

第2课时系统题型——平面向量的数量积及应用123Contents一、学前明考情——考什么、怎么考二、课堂研题型——怎么办、提知能课时跟踪检测返回一、学前明考情——考什么、怎么考返回[真题尝试]1.[考查数量积的计算](2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B.3C．2D．0解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.答案：B返回2.[考查向量的夹角](2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA―→＝12，32，BC―→＝32，12，则∠ABC＝()A．30°B.45°C．60°D．120°返回答案：A解析：因为BA―→＝12，32，BC―→＝32，12，所以BA―→·BC―→＝34＋34＝32.又因为BA―→·BC―→＝|BA―→||BC―→|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝32，所以cos∠ABC＝32.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.返回3.[考查数量积的最值问题](2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA―→·(PB―→＋PC―→)的最小值是()A．－2B.－32C．－43D．－1返回答案：B解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA―→＝(－x,3－y)，PB―→＝(－1－x，－y)，PC―→＝(1－x，－y)，所以PA―→·(PB―→＋PC―→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA―→·(PB―→＋PC―→)取得最小值，最小值为－32.返回[把握考情]创新角度常规角度平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇,主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算,以及利用数量积求向量的模、夹角等．2.平面向量数量积的应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题．主要以选择、填空题为主,难度中等偏下返回二、课堂研题型——怎么办、提知能返回平面向量数量积及其性质的应用[典例感悟]1．(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则CP―→·CB―→＋CP―→·CA―→＝()A．0B.1C.94D．－94返回解析：以点C为坐标原点，分别以CA―→，CB―→的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P13，23，所以CP―→·CB―→＋CP―→·CA―→＝23＋13＝1.故选B.答案：B返回2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于()A.7B.10C.13D．4解析：依题意得a·b＝12，|a＋3b|＝a2＋9b2＋6a·b＝13，故选C.答案：C返回3．(2019·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为()A.2π3B.π3C.4π3D．－2π3解析：∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，ca，b＝a·b|a||b|＝－42×4＝－12，∴a，b＝2π3，故选A.答案：A返回4．(2019·深圳高级中学期中)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B.－3C．－2D．－1解析：∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.答案：B返回[方法技巧]1．平面向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题返回2.利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.返回3．向量夹角问题的2个注意点(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．(2)a与b夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线．4．两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.返回平面向量数量积的应用问题平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．返回考法一平面向量模的最值或范围问题[例1](1)(2019·衡水中学调研)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝0，则|b－c|的最小值为()A.7－32B.3－12C.32D．72返回[解析]由|a|＝|b|＝a·b＝2，知a，b的夹角为π3，可设a＝(2,0)，b＝(1，3)，c＝(x，y)，∵(a－c)·(b－2c)＝0，∴(2－x，－y)·(1－2x，3－2y)＝0，即2x2＋2y2－5x－3y＋2＝0.方程2x2＋2y2－5x－3y＋2＝0表示圆心为54，34，半径为32的圆，|b－c|＝x－12＋y－32表示圆2x2＋2y2－5x－3y＋2＝0上的点到点(1，3)的距离，所以|b－c|的最小值为54－12＋34－32－32＝7－32.[答案]A返回(2)(2019·长春模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B.2C.2D．22返回[解析]因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ≤2，所以|c|的最大值是2.[答案]C返回[方法技巧]求向量模的最值(范围)的2种方法几何法代数法弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解返回考法二数量积的最值或范围问题[例2](1)(2019·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则PA―→·BD―→的取值范围是()A.－12，1B.－1，12C．[－1,1]D．[－1,0]返回[解析]∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝2.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，则PA―→＝PO―→＋OA―→，OA―→·BD―→＝0，∴PA―→·BD―→＝(PO―→＋OA―→)·BD―→＝PO―→·BD―→.∴当点P与点B重合时，PA―→·BD―→取得最大值，即PA―→·BD―→＝PO―→·BD―→＝12×2×2＝1；当点P与点D重合时，PA―→·BD―→取得最小值，即PA―→·BD―→＝－12×2×2＝－1.∴PA―→·BD―→的取值范围是[－1,1]．[答案]C返回(2)(2019·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|MN―→|＝2，则BM―→·BN―→的取值范围为()A.32，2B.32，2C.32，2D．32，＋∞返回[解析]以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.设M(a,2－a)，则0a1，N(a＋1,1－a)，∴BM―→＝(a,2－a)，BN―→＝(a＋1,1－a)，∴BM―→·BN―→＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2，∵0a1，∴当a＝12时，BM―→·BN―→取得最小值32，又BM―→·BN―→2，故BM―→·BN―→的取值范围为32，2.[答案]C返回[方法技巧]数量积的最值或范围问题的2种求解方法目标函数法临界分析法将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数,建立函数关系式,再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围返回[集训冲关]1.[考法一]已知向量a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝3，|c|＝32，则对任意的正实数t，c＋ta＋1tb的最小值是()A．2B.22C．4D．42返回解析：因为向量a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝0，又c·a＝c·b＝3，所以c＋ta＋1tb2＝c2＋t2a2＋1t2b2＋2(tc·a＋1tc·b＋a·b)＝t2＋1t2＋6t＋6t＋18≥32，当且仅当t2＝1t2，6t＝6t，即t＝1时等号成立，故c＋ta＋1tb的最小值为42.故选D.答案：D返回2.[考法二]在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA―→·BC―→＝BA―→2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA―→2＋PB―→2＋PC―→2取得最小值时，AP―→·BC―→＝________.返回解析：∵BA―→·BC―→＝BA―→2，∴BA―→·BC―→－BA―→2＝BA―→·(BC―→－BA―→)＝BA―→·AC―→＝0，∴BA―→⊥AC―→，即BA⊥AC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，则PA―→2＋PB―→2＋PC―→2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]，所以当x＝2，y＝1时，PA―→2＋PB―→2＋PC―→2取得最小值，此时AP―→·BC―→＝(2,1)·(－6,3)＝－9.答案：－9返回平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具．在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查．返回考法一平面向量与几何的综合问题[例1](2019·杭州期末)在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设AD―→·BC―→＝m，AC―→·BD―→＝n.若AB＝2，EF＝1，CD＝3，则()A．2m－n＝1B.2m－2n＝1C．m－2n＝1D．2n－2m＝1返回[解析]由题可得，AC―→·BD―→＝(AB―→＋BC―→)·(BA―→＋AD―→)＝－AB―→2＋AB―→·AD―→－AB―→·BC―→＋AD―→·BC―→＝－AB―→2＋AB―→·(AD―→－BC―→)＋m＝－AB―→2＋AB―→·(AB―→＋BC―→＋CD―→－BC―→)＋m＝AB―→·CD―→＋m.又因为点E，F分别是边AD，BC的中点，所以EF―→＝EA―→＋AB―→＋BF―→，EF―→＝ED―→＋DC―→＋CF―→.两式相加得2EF―→＝AB―→＋DC―→，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB―→·DC―→，所以AB―→·DC―→＝－12.则AB―→·CD―→＝12，所以AC―→·BD―→＝12＋m，所以n＝12＋m，即2n－2m＝1，故选D.[答案]D返回[方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法基向量法坐标法适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决