第18讲数学无穷级数三微分方程一2010新版

环球网校：视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料，考试通过无忧！考试问吧，有问必答！音频、讲义网校免费提供，如有贩卖勿上当，免费咨询：400-678-3456转6011页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多需要课件请联系QQ149420357或547343758【例l-4-9】幂级数的收敛域是（A）（-1,l）（B）（-l,1）（C）（-l,l）（D）（-l,1）【解】易知级数收敛半径R=l，当x＝-1时，级数11nn，当x=1时，级数111(1)nnn收敛，故应选（D）。（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定【解】由1(1)nnnax的结构知其收敛区间的中心为x=1，已知x=-1为此级数的一个收敛点，设其收敛半径为R，则(1)12R，而x=2与收敛区间中心x＝1的距离为1,1R，由幂级数的收敛性（阿贝尔定理）知，此级数在x=2处绝对收敛，故应选（B）。【例1-4-11】利用逐项求导法求级数的和函数。【解】幂级数0nnx的和函数是1(11)1xx即环球网校：视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料，考试通过无忧！考试问吧，有问必答！音频、讲义网校免费提供，如有贩卖勿上当，免费咨询：400-678-3456转6012页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多利用逐项求导公式，得【例l-4–12】将函数1x展开成（x一3）的幂级数。【解】因为而因此【例1·4·13】将函数展开成x的幂级数。［解］先将有理分式分解成部分分式之和：环球网校：视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料，考试通过无忧！考试问吧，有问必答！音频、讲义网校免费提供，如有贩卖勿上当，免费咨询：400-678-3456转6013页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多三、傅立叶级数（一）傅立叶级数概念1．傅立叶系数和傅立叶级数设f（x）是周期为2π的周期函数，则下面公式中出现的积分都存在，则系数a0，a1,,bl…叫做函数f（x）的傅立叶系数，级数叫做函数f（x）的傅立叶级数。2．狄利克雷收敛定理设f（x）是周期为2π的周期函数，如果它满足条件：（1）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则f（x）的傅立叶级数收敛，且当x是f（x）的连续点时，级数收敛于f（x）；当x是f（x）的间断点时，级数收敛于1[()()]2fxfx（二）正弦级数和余弦级数1．正弦级数若f（x）是周期为2π的奇函数，则它的傅立叶系数为它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数2．余弦级数若f（x）是周期为2π的偶函数，则它的傅立叶系数为环球网校：视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料，考试通过无忧！考试问吧，有问必答！音频、讲义网校免费提供，如有贩卖勿上当，免费咨询：400-678-3456转6014页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数（三）周期为2l的周期函数的傅立叶级数设f（x）是周期为2l的周期函数，则它的傅立叶系数为而它的傅立叶级数为（四）例题【例1-4–14】设f（x）是周期为2π的周期函数，它在[-π，π），上的表达式为问f（x）的傅立叶级数在x＝-π处收敛于何值。【解】所给函数满足狄利克雷收敛定理的条件，x＝-π是函数的间断点，按收敛定理它的傅立叶级数在x＝-π处收敛于【例1-4–15】将函数展开成傅立叶级数。【解】将函数22()fxx在[,]外作周期延拓，注意到f（x）是偶函数，故环球网校：视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料，考试通过无忧！考试问吧，有问必答！音频、讲义网校免费提供，如有贩卖勿上当，免费咨询：400-678-3456转6015页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多由于f在区间[-π，π]满足收敛定理的条件，在[-π，π]上连续，且f（π）=f-（π），因此在区间[-π，π]上，有第五节微分方程一、基本概念（一）微分方程表示未知函数及其导数、自变量之间的关系的方程，称为微分方程。微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。（二）微分方程的解、通解微分方程的解是一个函数，把这函数代人微分方程能使该方程成为恒等式。确切地说，对于n阶微分方程那么函数()yx就称为微分方程（1-5-l）在区间I上的解。如果二元代数方程(,)0xy所确定的隐函数是某微分方程的解，那么(,)0xy称为该微分方程的隐式解。含有n个独立的任意常数的微分方程的解，称为n阶微分方程的通解。（三）初始条件与特解能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初始条件为00|xxyy；二阶环球网校：视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料，考试通过无忧！考试问吧，有问必答！音频、讲义网校免费提供，如有贩卖勿上当，免费咨询：400-678-3456转6016页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多微分方程卯初始条件为00|xxyy，00|xxyy。通解中的任意常数全都确定后，就得到一个确定的解，称为微分方程的特解。（四）例题【例1-5-l】验证函数212xxyCeCe是微分方程20yyy的通解。【证】代人方程有所给方程是二阶的，所给函数中恰好含Cl、C2两个任意常数，且因23/xxxeee常数，故这两个任意常数不能合并成一个，即它们是相互独立的，因此所给函数是所给方程的通解。二、可分离变量的方程一阶微分方程称为可分离变量的方程。把式中的y和dy归人方程的一端，x和dx归人另一端，成为这一步骤称为分离变量。分离变量后，两端可分别积分设g（y）、f（x）的原函数依次为G（y）与F（x），即得方程（1-5-2）的通解【例1-5-2】xOy平面上一条曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求它的方程。环球网校：视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料，考试通过无忧！考试问吧，有问必答！音频、讲义网校免费提供，如有贩卖勿上当，免费咨询：400-678-3456转6017页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多【解】设曲线上任一点为（x，y），依题意，曲线在点（x，y）的切线在两坐标轴上的截距应为2x及2y,（图1-5-1），切线斜率为dydx，因此有初始条件为x＝2时y=3。分离变量得积分得以初始条件代入得C1=6，故所求曲线方程为