抛物线的几何性质123

抛物线的几何性质胶州实验中学高二数学组定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py一、知识回顾1、范围由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。yox)0,2(pF2、对称性(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，yox)0,2(pF3、顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。yox)0,2(pF4、离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。yox)0,2(pF归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。(2)抛物线的焦半径公式:抛物线y2=2px(p0)|PF|=|x0+|=+x0抛物线y2=-2px(p0)|PF|=|x0-|=-x0抛物线x2=2py(p0)|PF|=|y0+|=+y0抛物线x2=-2py(p0)|PF|=|y0-|=-y0p2p2p2p2p2p2p2p22.过抛物线焦点的弦长设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则:y2=2px(p0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p0)|AB|=p-(y1+y2)例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22三、典例精析当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论练习一：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.162、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp4例2斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’.,,),,(),,(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设,1,121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx所以2,1,2pp.1:xl准线解法二:由题意可知,【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.【解析】若抛物线开口向右,如图.设抛物线的方程为y2=2px(p0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①12p2p2又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p.将其代入①,得p=2.∴所求抛物线的方程为y2=4x.当抛物线的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.综上,抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x.21yxp,2y2px,2p4【例3】1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是()A.(,1)B.(0,0)C.(1,2)D.(1,4)2.已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.12【解题探究】1.题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的解题思路一般有哪些?2.以原点为一个顶点的三角形的“四心”在抛物线的对称轴上,另两个顶点的位置关系如何?探究提示:1.一般有三种方法:(1)构造函数法.(2)数形结合法.(3)转化法.2.根据抛物线的对称性,另两个顶点必定关于对称轴对称.【解析】1.选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2),其中x∈R,由点到直线的距离公式得∴当x=时,d最小.这时点的坐标为(,1).222214(x)44x4x52d17411212方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m,由得4x2-4x-m=0.再由Δ=16-4×4×(-m)=0得m=-1.这时切点为(,1),切点(,1)到y=4x-5的距离最小.2y4xmy4x,12122.如图所示.设A(x0,y0),由题意可知B(x0,-y0),又F(,0)是△AOB的垂心,则AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,即∴y02=x0(x0-),又y02=2px0,∴x0=2p+=.因此直线AB的方程为x=.p20000yy()1,pxx2p2p25p25p2【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如何?【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B两点关于x轴对称.又根据重心的性质,∵|OF|=,∴AB的方程应为p2pp3xp.244.0242正三角形的边长）上，求这个（两个顶点在抛物线位于坐标原点，另外、正三角形的一个顶点例ppxyyOxBA.||||.0200.02022||||.222121212121212221222221212221212211轴对称关于，即线段由此可得，，，））（（，即：，，所以：又，），则，）、（，线上，且坐标分别为（在抛物、的顶点解：如图，设正三角形xAByyxxpxxpxxxxpxpxxxyxyxOBOApxypxyyxyxBAOAB.342||.322.3330tan301121111pyABpypyxxyAOxABxoo，，所以，且轴垂直于因为练习：等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为A.8p2B.4p2C.2p2D.p2抛物线中的证明问题【例题5】1.证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.2.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2为定值.(2)为定值.11FAFB【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么?2.什么是定值?探究提示:1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判断圆心到直线的距离与半径的大小.2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的定义可知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.1212122.(1)抛物线y2=2px的焦点为F(,0),当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为y=k(x-)(k≠0).由消去y,得k2x2-p(k2+2)x+=0.由根与系数的关系得x1x2=(定值).当AB⊥x轴时,x1=x2=,x1x2=也成立.p2p22pyk(x),2y2px,22kp42p4p22p4(2)由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x2+.又由(1)得x1x2=,所以==(定值).p22p4p2121111ppFAFBxx22121222121212xxpxxpppppxxxxxx24221212xxp2ppxxp2例6.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD【拓展提升】解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点【变式训练】如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且|MA|=|MB|.若M为定点.证明:直线EF的斜率为定值.【证明】设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k0),则直线MF的斜率为-k,∴直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得2002yykxy,yx,200EE21ky1kyy,x.kk同理可得∴=-(定值).∴直线EF的斜率为定值.200FF21ky1kyy,x.kk00EFEF220EF002221ky1ky2yykkkk4kyxx1ky1kykkk012y例7.已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?几何画板演示四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：