DVD在线租赁问题数学模型

LOGO数学模型DVD在线租赁问题数学模型华东理工大学数学系xxx问题提出1问题分析2假设条件3模型建立与求解4模型评价5DVD在线租赁问题数学模型DVD在线租赁问题数学模型DVD在线租赁问题数学模型随着信息时代的到来,电子商务已成为一个重要的商业途径。在线DVD租赁就是其中一种典型的经营方式，但在实际的经营过程中还是存在很多问题。下面我们从复杂的现实情况中考虑一个典型的情景。鉴于业务量的考虑，网站有必要采用会员制度，顾客需缴纳一定数量的月费成为会员。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就能立即了解他们的需求，并通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单内容包括他对哪几张DVD感兴趣，对不同的DVD的偏爱度，用数字表示。这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。问题提出DVD在线租赁问题数学模型为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察：1）至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到？若要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？1、由于DVD的更新速度很快，网站必须时常更新现有产品，因此在现有会员中随机抽取1000个会员进行调查，以得知愿意观看不同DVD的人数（表1.1给出了其中5种DVD的数据）。虽然网站规定每位会员每月只能借两次DVD，但从历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。现在我们假设网站现有10万个会员，并已经知道会员对DVD的需求，以及会员每月订DVD的规律。问题是应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510表1.1对1000个会员调查的部分结果问题提出DVD在线租赁问题数学模型为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察：1）至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到？若要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？2）如何对手中已有的DVD进行分配，以使所有会员的满意度和达到最大。2、尽可能多的满足会员是经营中的一大目标，但每个会员对不同DVD的偏爱度是大相径庭的，虽然他们都对该DVD下了订单，但最后得到该张DVD收到的效果差别很大，所以还要考虑会员满意度的问题。表1.2列出了网站中20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单。如何对手中已有的DVD进行分配，以使所有会员的满意度和达到最大？D001－D020表示20种DVD,C0001－C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。表1.2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号D001D002D003D004…DVD现有数量812210…会员在线订单C00010020…C00021090…C00030600…C00040000…C00055000…………………问题提出DVD在线租赁问题数学模型为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察：1）至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到？若要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？2）如何对手中已有的DVD进行分配，以使所有会员的满意度和达到最大。3）作为网站经营管理员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大呢？问题提出3、在实际的经营过程中，不可能像刚才讨论的两个问题这么简单，我们不可能将顾客的满意率与他们的满意度割裂开来分开研究，可以说这是两个问题是相互牵制的关系。假设表1.2中DVD现有数量全部为0。作为网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大呢？只有弄清楚这个问题，我们才能初步的对DVD在线租赁问题有个认识。DVD在线租赁问题数学模型问题一类似于“货物存储问题（Inventoryproblem）”，基本思路是跟踪DVD在一个月（三个月）内的流动情况，目标是计算出DVD的流转次数，然后再结合满意率要求得出所需准备的DVD数量。问题二类似于“分配问题”或“指派问题（Assignmentproblem）”，我们可以对偏爱度进行适当的处理以满足我们的要求。0-1规划是处理该问题的最佳方法，因此如何使用这一方法将是研究问题二的关键。问题三看似是问题一与问题二的结合（存贮+分配），但实际要复杂得多。他综合考虑一个月内DVD的购买、分配方案，是一个多目标线性规划。从经济效益看，在保证95%以上会员一个月内看到想看的DVD的情况下，希望购买尽量少的DVD，从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大。这时，可以将多目标变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优。由于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束函数会和问题一、问题二有很大差别。而问题三的模型又可从当前满意度最大和一段时间内满意度最大两个角度来考虑。问题分析1.对1000名会员的调查足以反映10万名会员对于各种DVD的需求及喜好2.所有会员提交订单的时间是随机的3.一个月的天数为30天4.会员中有60%的会员每月租赁DVD两次，40%的会员每月租赁DVD一次5.会员只有在需要再次租赁DVD时，才会将上次租赁的DVD归还6.会员临近两次借的DVD种类不会重复7.每位会员每月至少租赁1次8.会员本次提交后没得到该DVD，则他下次仍要看该DVD，且偏爱度不变9.每类租赁出的DVD有60%在每月租赁2次的会员中，40%在每月租赁1次的会员中10.公司收到订单时不知道此会员在一个月内会借一次或两次DVD在线租赁问题数学模型假设条件在实际建模中还会遇到其他问题，比如问题一中可以淡化会员每次借三张的条件，即会员每次借的DVD数量不固定；问题二中不考虑多次分配的问题；问题三中对顾客满意率的不同理解。因此，我们将在以下的讨论具体问题时再给出。DVD在线租赁问题数学模型模型建立与数值求解：第时间节点上第种DVD的可分配量：所有会员中愿意观看第种DVD的人的概率：所有会员中每月借2次的人的概率：需要满足的会员比例：会员总数：所考虑的时间跨度，即月份数：第个会员对第种DVD的偏爱程度：第个会员对第种DVD的满意度：分配变量，表示第个会员得到第种DVD，否则为0：网站第种DVD的现有数量其余特殊的变量将在后面的讨论中具体说明jjpjixijcpspMnijbijaijxjwiijjjji1ijx参数与变量说明DVD在线租赁问题数学模型模型建立与数值求解问题一的模型与求解问题一是简化的情形，在制定方案时，暂时不考虑每个会员每次最多借3张DVD的限制，也不考虑各种DVD间产生的影响及数量间的横向联系，单独考虑每种DVD的准备量。如上所述，我们称每个月只租赁一次DVD的会员为1类会员，每个月租赁两次的会员为2类会员。虽然借一次和两次的会员并不固定，但其占总体会员的比例是一定的。由于每个月租赁两次DVD的会员的不确定性，无法预知每种DVD到底会借给哪类会员。因此，在制定购买方案时我们分别考虑悲观情况估计及均值估计两种方式。问题一包含两个部分，一是至少准备多少张DVD，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能看到；二是至少准备多少张DVD，才能保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD。我们分别称上述两种情况为“一月情况”和“三月情况”。“三月情况”是“一月情况”的延续。DVD在线租赁问题数学模型模型建立与数值求解问题一：悲观情况估计－一个月假设DVD1其购买量为，从表1可以认为想看DVD1的有2万人，而会员一个月借1次或借2次是随机的，这就可能出现极端的情况，即第一次分配时正好所有1类会员都分配到了DVD1，我们把这种情况称为悲观情况。则的一部分首先被会员总数40%的1类会员借走了，而且在该月不会归还。那么，为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD，则DVD1总的购买量应满足：1x1x2000050%22000040%-x2000040%190001x同理，设为愿意看第种DVD的人的概率，可从表1中将愿意看该DVD的人数除以总人数可获，则5种DVD的购买量为:5,4,3,2,110000050%210000040%-x10000040%jjpppjjjjpjpjDVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量9000450022501125450DVD在线租赁问题数学模型模型建立与数值求解问题一：悲观情况估计－三个月从“一月情况”，我们可以推广到“三月情况”。如果，则每次分配都将只能由每月借一次的会员的到DVD，这样三个月中DVD1的流动量就仅为，为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD，那么此时DVD1总的购买量应该满足同理，对于其余4种DVD的购买量有，为保证三个月内至少95%的会员看到他想看的DVD，每种DVD的购买量为：2000040%1x13x63342000095%311xx5,4,3,210000095%3jpxjjDVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量633431671584792317DVD在线租赁问题数学模型模型建立与数值求解问题一：均值情况估计现实中，每天都会有订单提交，也有DVD归还，而且都是服从参数为的普哇松分布。考虑平均情况，认为：60%的会员15天归还DVD，40%的会员一个月归还，即对于每张DVD有60%的可能15天流通一次，40%的可能30天流动一次。假设所有会员在每个月的某天（不妨为1号）提交订单，那些2类会员也集中在15号归还并提交下一份订单，则可以发现上述的简化是普哇松分布的平均情况。因此，在处理时可以不考虑每个会员的具体租赁、归还的时间，而只考虑每个月两次的分配方案，即1号和15号的分配方案。同时，在DVD租赁出去后，对于某种DVD，是均匀的分布在1类会员和2类会员中，即在15号，该DVD将有60%归还。我们用下图表示租赁情况，每块代表长度为15天的时段，上方的箭头表示该时刻借出的数量，下方表示归还的数量。则初始时刻有张可用于分配。DVDjjx1第二次第四次第六次第一次租赁第三次第五次时间jx1jx2jx3jx4jx5jx6jx2jx3jx4jx5jx6DVD在线租赁问题数学模型模型建立与数值求解问题一：均值情况估计－一月对于“一月情况”，仅观察上图中的前两段。在分配时，每张DVD都有60%的可能被分配给一月个借2次的会员，40%的可能分配给每月借1次的。在初始时刻会将所有DVD借出，因此即表示网站对的购买量，而问题目标则是要求出的最小值，以达到效益的最优。由假设可知，第1个月月中有的归还，另外40%仍在会员中，这时网站可将的借出。则与有如下关系：jx1DVDjjx1jx1%60DVDjDVDjjx1%60jx1jx2jjxx126.0这样就可以计算在一个月中的流通量即一个月内DVD的流通量为月初购买量的1.6倍，称这个“1.6”为“一月流通系数”。那么DVD一个月最小购买量可通过以下公式来计算：DVDjjjjxxx1216.15,4,3,2,1100000%506.1min1111jZSxpxxSjjjSjj，，DVD在线租赁问题数学模型模型建立与数值求解问题一：均值情况估计－一月由表1得到1000人中愿意观看每种DVD的概率分别为：01.