五年级奥数教程与训练-01不定方程

五年级奥数五年级奥数教程与训练第一讲不定方程【知识要点与基本方法】方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组），它的解是不定的，一般地说，如果没有给不定方程某种制约的条件，那么它就有无限多个解，本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。【例题解析】例1.求下列方程的整数解（x0,y0）（1）5x+10y=14(2)11x+3y==89解：（1）因为5与10有公因数5，而14无因数5，所以原方程无整数解。（2）原方程整理得：y=（89-11x）÷3因为x和y都是大于零的整数，11x89,所以x9,由上式得：x=1,y=26,或者x=4,y=15,或者x=7,y=4例2．邮局买了助动车和自行车若干辆，共付出11700元，已知每辆助动车2500元，每辆自行车350元，问：邮局买这两种车各多少辆？解：设买了x辆助动车，y辆自行车。由题意得：2500x+350y=11700y=（11700-2500x）÷350解得x=3,y=12答：邮局买了3辆助动车和12辆自行车。例3.有一根长5.8米的木料，现在要把它分割成每根长0.9米和0.4米的两种规格，恰好没有剩余的所有分割法（损耗不计）。解析：设一根木料可分割0.9米长的x段，0.4米长的y段，由题意得：0.9x+0.4y=5.8y=(5.8-0.9x)÷0.4解得：x=2,y=10或者x=6,y=1答:可分割成0.9米长的2段,0.4米长的10段,或0.9米长的6段,0.4米长的1段.例4．一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一,二,三等奖的学生各几人?解:设获一、二、三等奖的人数分别为x,y,z,根据题意有:6x+3y+2z=22(1)9x+4y+z=22(2)2×(2)得18x+8y+2z=44(3)(3)-（1）得12x+5y=22(4)解（4）求得整数解为x=1,y=2代入（2）可求得z=5.答：获一等奖1人，获二等奖2人，获三等奖5人.例5.某单位职工到郊外植树，其中1/3的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵，他们各种了216棵树，那么其中有女职工多少人？解：设有女职工x人，男职工y人，那么有孩子（x+y）÷3人。这个条件说明3|（x+y）由已知10x+13y+(x+y)÷3×6=216即4x+5y=72y=(72-4x)÷5只有当4x的个位为2时,有整数解五年级奥数x=3,y=12或者x=8,y=8或者x=13,y=4只有3/（3+12）,所以，y=12,x=3.即有女职工3人。例6.abc是报一个三位数，由a，b，c三个数码组成的另外五个三位数之和等于2743.那么，三位数abc是多少？解：这六个三位数的和为222（a+b+c），则有：2743222(a+b+c）3743即12a+b+c17,a+b+c取值只能是：13，14，15，16当a+b+c=13时，222×13=2886，2886-2743=143，1+4+3≠13，舍去。经过检验：只有当a+b+c1=14时成立：222×14=3108，3108-2743=365，而3+6+5=14，符合题意。答：这个数是365.例7.有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都在10以内，把三张牌洗完后，分别发给甲，乙，丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌，发牌，记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13，15，23.问：这三张牌的数字是多少？解：设三张牌按照从大到小排列为x，y，z，再设共发了n轮（每轮发三张），x+y+z=S则有：n×S=13+15+23=51=3×17只有n=3，S=17.x+y+z=17，则x17/3,所以x可取的值为6，7，8，9.当x=6时，y+z=11，而y+z最多只能是9，所以不符合题意。当x=7时，y+z=10，而只有y=6，z=4，但是丙三次牌数字之和是23，而23显然不可能表示为（7，6，4）中任意三个数之和。故也不符合题意。当x=8时，y+z=9，（y，z）可能情况有（7，2）、（6，3）、（5，4）,而13（甲的三次牌数字和）不能表示为（8，7，2）中任意三个数之和，23不能表示为（8，6，3）和（8，5，4）中任意三个数之和，故x=8也不符合题意。当x=9时，y+z=8，经观察y=5，z=3可成立。每人每次得牌如下：第一次第二次第三次甲乙丙539539395答：这三张牌的数字是3，5，9.五年级奥数【课后练习题】1.不定方程172112yx的整数解是.不定方程23732zyx的自然数解是.2.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是.3.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有只脚.4.装热水瓶的盒子有大小两种，小盒能装5个，大盒能装8个，要把68个热水瓶恰好装入盒里，需这两种盒子各多少个？5.把146分成两个整数的和，一个数是11的倍数，另一个数是17的倍数，这两个数各是多少？6.大客车有42个座位，小客车有25个座位，现有310位乘客，要使每位乘客都有座位，而且没有空座位，需要大，小客车各多少辆？7.不定方程12x+21y=17的整数解是多少？8.甲，乙，丙三个男孩共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做“难题”，将三人都解出的题叫做“容易题”，证明：“难题”刚好比“容易题”多20道。9.有一个两位数，加上54以后，十位上的数字和个位数字正好互换位置，求这个两位数。10.有一堆围棋，白棋子棵数是黑子的三倍，每次拿出7颗白子，4颗黑子,过若干次(不到十次)后,剩下的白子是黑子的11倍,原来的白子有多少颗?11.甲、乙两个小队的同学去植树。甲小队一人植树6棵，其余每人都植树13颗；乙小队有一人植树5颗，其余每人五年级奥数都植树10棵。已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数大于100而不超过200，那么甲、乙两小队共有多少人？12.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?13.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?14.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.