高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析-专题14-空间点点距、点线距、点面距的求法

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网第第第第14141414讲讲讲讲：空间点点距、点线距和点面距的求法：空间点点距、点线距和点面距的求法：空间点点距、点线距和点面距的求法：空间点点距、点线距和点面距的求法【考纲要求】1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、了解向量方法在研究几何问题中的应用.【基础知识】一、空间的三种距离3、点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα⊥，垂足为A，则PA是点P到平面α的距离。即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离常用求法：①几何法：作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点P到平面ABC的距离，如果已知点C到平面PAB的距离，则可以根据PABCCPABVV−−=求出点C到平面PAB的距离；③向量法：如下图所示，已知AB是平面α的一条斜线，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离为nnABd⋅=；二、以上所说的距离（点点距，点线距，点面距）都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离.。三、以上距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解，体现了数学中的转化思想，把空间的问题转化为平面的问题，把复杂的问题转化成简单的问题解答。四、在三种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法。五、在这三个距离中，求点到平面的距离是重点和难点。【方法讲评】空间点点距方法一几何法使用情景把该线段放到三角形中比较方便解三角形ABCnα高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网解题步骤把该线段放到三角形中解答。方法二向量法使用情景解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系→分别求出两个点,AB的坐标→代入空间两点间的距离公式222121212||()()()ABxxyyzz=−+−+−例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小.【变式演练1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.(1)求证PQ∥平面CDD1C1；(2)求证PQ⊥AD；(3)求线段PQ的长.空间点线距方法一几何法使用情景比较容易找到点在直线上的射影，解三角形比较方便。解题步骤找到或作点在直线上的射影→把该垂线段放到三角形中解答。方法二向量法使用情景找点在直线上的射影比较麻烦，解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系→分别求出直线a的方向向量a�，两个点,AB的坐标，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网其中Aa∉，Ba∈→代入点到直线的距离公式22||||ABadABa⎛⎞⋅=−⎜⎟⎝⎠����������，其中Ba∈，a�是直线a的方向向量例2正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为21，那么点M到直线EF的距离为。解：过M作MO⊥EF，交EF于O，则MO⊥平面BCFE.如图所示，作ON⊥BC，设OM=x，又tanMBO=21，∴BO=2x又S△MBE=21BE·MB·sinMBE=21BE·MES△MBC=21BC·MB·sinMBC=21BC·MN∴ME=MN，而ME=152−x，MN=12+x，解得x=22。【点评】（1）该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。（2）该题是利用几何法求的点到线的距离，其中主要是用到了解三角形的知识。【变式演练2】平面α内有Rt△ABC,∠C=90°,P是平面α外一点,且PA=PB=PC,P到α的距离是40cm,AC=18cm,则点P到BC边的距离是____________________________________.例3如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB//CD，图高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网AB=21CD.（1）点F在线段PC上运动，且设λλ问当,||||=FCPF为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；（2）二面角F—CD—B为45°，求二面角B—PC—D的大小；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.（3）在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD∩平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.在17,22=+=∆CDPDPCPCDRt中，在23,217,2,,===⋅=⋅∆EFPFPEEFPEPFEHPEFRt将中代入得：.17343=EH即点E到平面PBC的距离为.17343又∴∴,//,//PBCAEBFAE平面∵点A到平面PBC的距离为.17343【点评】本题利用几何法求点到面的距离，把点到面的距离转化到平行直线上另外一点到平面的距离。例4如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2。（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离。解：(1)证明：连结OC。∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD。∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD。在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=3。高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网而AC=2，∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC。,0=OCBD∩∵∴AB⊥平面BCD。（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h.CDEAACDAVV−−−∵,∴h31·S△ACD=31·AO·S△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=2,∴S△ACD=,2722222132=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−××而AO=1,S△CDE=,23243212=××∴h=,72127231=×=•∆∆ACDCDESSAO∴点E到平面ACD的距离为721。【点评】由于点A到平面ECD的距离已知，所以本题利用等体积法求点到面的距离就显得比较简单。例5如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，4PAAD==，2AB=．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．解：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M，设平面ABM的一个法向量(,,)nxyz=�，由,nABnAM⊥⊥�����������可得：ONAPBCMDzxyOAPBCMD高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网20220xyz=⎧⎨+=⎩，令1z=−，则1y=，即(0,1,1)n=−�.设所求角为α，则22sin3PCnPCnα⋅==����������，所求角的大小为22arcsin3.（3）设所求距离为h，由(1,2,0),(1,2,0)OAO=����，得：2AOnhn⋅==������PC于点N.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.【高考精选传真】1.【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥P−ABC，点P，A，B，C都在半径为3的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。【解析】因为在正三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P−ABC在面ABC上的高。已知球的半径为3，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P−ABC在面ABC上的高为233，所以球心到截面ABC的距离为233333−=2.【2012高考真题重庆理19】（本小题满分12分如图，在直三棱柱111CBAABC−中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面11ABBA的距离;NODMCBPA高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网（Ⅱ）若11ABAC⊥求二面角的平面角的余弦值.【解析】（1）由ACBC=,D为AB的中点，得CDAB⊥，又1CDAA⊥，故11CDAABB⊥面,所以点C到平面11AABB的距离为225CDBCBD=−=(2)如图，取1D为11AB的中点，连结1DD,则111DDAACC∥∥,又由（1）知11CDAABB⊥面，故1CDAD⊥1CDDD⊥，所以11ADD∠为所求的二面角11ACDC−−的平面角。因1AD为1AC在面11AABB上的射影，又已知11ABAC⊥，由三垂线定理的逆定理得11ABAD⊥，从而111,AABADA∠∠都与1BAB∠互余，因此111AABADA∠=∠，所以111RtAADRtBAA△∼△，因此，1111AAABADAA=,即21118AAADAB==i,得122AA=。从而221123ADAAAD=+=,所以，在11RtADD△中，1111116cos3DDAAADDADAD===3.【2012高考真题安徽理18】（本小题满分12分）空间图形，对此空间图形解答下列问题。（Ⅰ）证明：1AABC⊥；（Ⅱ）求1AA的长；（Ⅲ）求二面角1ABCA−−的余弦值。【解析】(综合法)（I）取11,BCBC的中点为点1,OO，连接1111,,,AOOOAOAO，则ABACAOBC=⇒⊥，面ABC⊥面11BBCCAO⇒⊥面11BBCC，同理：11AO⊥面11BBCC得：1111//,,,AOAOAOAO⇒共面，又11,OOBCOOAOO⊥=⇒∩BC⊥面111AOOAAABC⇒⊥。高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网得：二面角1ABCA−−的余弦值为55−。【反馈训练】1.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则E到平面ABC1D1的距离是…()A.23B.22C.21D.332.如下图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P,它到直线A1B1与到直线AD的距离相等,则动点P所在曲线形状为(图中实线部分)()高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网3.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一个各棱都相等的四面体,四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上,碳原子位于该四面体的中心,它与每个氢原子的距离都是a.若将碳原子和氢原子均视为一个点,则任意两个氢原子之间的距离为()A.a34B.a362C.a27D.a9384.在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M为AB中点,将△ACM沿CM折起,使A、B间的距离为22,则M到面ABC的距离为()A.362B.2C.1D.25.设OA,OB,OC为不共面的三条射线,若∠AOB=∠AOC=60°,∠BOC=90°,点P为射线OA上一点,设OP=