集合与不等式难题分析

博大教育个性化教案1第一章集合与命题考点综述集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理．此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件．考点1集合的概念及相应关系典型考法1与含参数的方程有关的集合问题已知集合2{|320}AxaxxxaR，，(1)若A是空集，试求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．必杀技：用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题一般地，对于集合2{|0}xaxbxcxR，，其中a，b，c均为实数，当a≠0时，2{|0}xaxbxcxR，是一元二次方程20axbxc的根的集合．须注意：若求非空集合2{|0}xaxbxcxR，中的元素之和，则应分0与0这两种情形，具体为(1)若0，则20axbxc有两个不等的实根，于是，非空集合2{|0}xaxbxcxR，中的元素之和为ba；(2)若0，则20axbxc有两个相等的实根，于是，非空集合2{|0}xaxbxcxR，中的元素之和为2ba．博大教育个性化教案2实战演练1．已知2{|1}2xaAxxRx，为单元素集，则实数a的取值的集合为．2．设A={x｜x2+(b+2)x+b+1=0，b∈R}，求A中所有元素的和．3．对于函数f(x)，设{|()}Axfxx，{|(())}Bxffxx．(1)求证：AB；(2)若2()1(,)fxaxaRxR，且AB，求a的取值范围．典型考法2集合对某种运算的封闭性典型例题设22{|}MaaxyxyZ，，．(1)属于M的两个整数，其积是否仍属于M，为什么？(2)8、9、10是否属于M，请说明理由．必杀技深刻理解集合中的元素所具有的性质1．要证明0xM，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式．2．要证明0xM，通常用反证法．实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意44143nZnnn，，，均为M中的元素，而42n不是M中的元素．博大教育个性化教案3实战演练1．设非空集合{|}Sxmxl满足：当xS时，有2xS．给出如下三个命题：①若1m，则{1}S；②若12m，则114l；③若12l，则202m．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（）.A．0B．1C．2D．32．已知22{|}SxxmnmnZ，，．(1)如果stS、，那么st是否为S的元素，请说明理由；(2)当stS、且0t时，证明：st可表为两个有理数的平方和．3．已知集合12(2)kAaaak，，，≥，其中(12)iaikZ，，，，由A中的元素构成两个相应的集合：()SabaAbAabA，，，，()TabaAbAabA，，，．其中()ab，是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P．（I）检验集合0123，，，与123，，是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：(1)2kkn≤；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．博大教育个性化教案4考点2子集、集合中的图形典型考法1子集典型例题设A为集合M的子集，且12{}(2)nAaaanNn，，，，…，若1212nnaaaaaa……，则称A为集合M的n元“好集”．(1)写出实数集R的一个二元“好集”；(2)求出正整数集N的所有三元“好集”；(3)证明：不存在正整数集N的(4)nn元“好集”．必杀技充分利用所给条件1．深刻理解概念并其中所给出条件；2．ABAABABB．在含参数的集合的问题中，往往不能遗漏A是AB的一种情况．实际上，在本例中也不存在正整数集N的二元“好集”，读者可自行完成期证明过程．实战演练1．若规定E=1210,,,aaa的子集12,,,niiiaaa为E的第k个子集，其中31211112222niiiik，则(1)13,aa是E的第个子集；博大教育个性化教案5(2)E的第211个子集是．2．已知集合22{|60}AxxaxaxR，，{||2|}BxxaxR，，当BA时，则实数a的取值范围是．3．设全集为U，集合ABX，，满足AXBXABABXAB，，则X与AB的关系为．典型考法2集合中的图形典型例题设{()|}AxyxnynabnZ，，，，2{()|3(5)}BxyxmymmZ，，，，22{()|144}Cxyxy，，问是否存在实数ab，，使得同时满足AB，且()abC，．．必杀技：充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗．本题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作对比．另法一：假设存在实数a，b使得同时满足与AB且()abC，，由满足AB得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n=m且na+b=3m2+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，即3n2-an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即a2+12b-180≥0，由此得，12b-180≥2a；又()abC，得，a2+b2≤144，故12180b≥2a≥2144b，即12b-180≥2144b，所以(b-6)2≤0，从而b=6，现将b=6代入212180ba中得a2≥108，再代入a2+b2≤144中得，a2≤10因此，只有a2=108，即a=63，最后将a=63及b=6代入方程3n2-an-(b-15)=0得，3n263n+9=0，即n223n+3=0，所以有3nZ．综上所述，不存在实数a，b使得同时满足AB，()abC，．另法二：假设存在实数a，b使得同时满足与AB且()abC，，由AB得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n=m且na+b=3m2+15，即2315bnna……(※)，又()abC，得，博大教育个性化教案6a2+b2≤144，将(※)代入a2+b2≤144，得222(315)144anna2222(1)2(315)(315)1440nannan，将其看着关于a的一元二次不等式，又222224(315)4(1)[(315)144]nnnn2236(3)n，nZ，0，注意到210n，故，不等式2222(1)2(315)(315)1440nannan无实数解，即这样的实数a不存在，综上所述，不存在实数a，b使得同时满足AB，()abC，．实战演练1．设集合{|211}Axxx或，集合12{|}Bxxxx，且1x与2x是方程20xaxb的两个实根，{|2}{|13}ABxxABxx，，则ab．2．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？3．设集合2{()|10}Axyyx，，集合2{()|42250}Bxyxxy，，集合{()|}Cxyykxb，，是否存在k，bN，使得()ABC？若存在，则求出k，b的值；若不存在，请说明理由．典型考法２一元二次不等式典型例题设a为实常数，函数22()||yxxaxa．博大教育个性化教案7(1)当0x时，1y，试求实数a的取值范围；(2)当1a时，求y在[)a，上的最小值；当aR时，试写出y的最小值．(3)当()xa，时，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式1y的解集．必杀技：利用三个“二次”的关系，注意分类讨论1．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程，保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解，这体现了转化与化归的数学思想．2．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．3．一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型．一元二次不等式与相应的函数，方程紧密联系．求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集，要结合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集．一元二次方程20axbxc(0)a，设24bac，它的解按照0，0，0可分为三种情况．相应地，二次函数2yaxbxc(0)a的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们常分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集，如图2-2-1．博大教育个性化教案8实战演练1．若关于x的不等式2212kxkx有唯一实数解，则实数k．2．关于x的不等式组22202(25)50xxxkxk，的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是．博大教育个性化教案93．要使满足关于x的不等式2290xxa（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式2430xx和2680xx中的一个，求实数a的取值范围．