2014年广东省广州市中考数学试卷

第1页共28页◎第2页共28页2014年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.𝑎(𝑎≠0)的相反数是()A.−𝑎B.𝑎2C.|𝑎|D.1𝑎2.下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格点上，则tan𝐴=()A.35B.45C.34D.434.下列运算正确的是()A.5𝑎𝑏−𝑎𝑏=4B.1𝑎+1𝑏=2𝑎+𝑏C.𝑎6÷𝑎2=𝑎4D.(𝑎2𝑏)3=𝑎5𝑏35.已知⊙𝑂1和⊙𝑂2的半径分别为2𝑐𝑚和3𝑐𝑚，若𝑂1𝑂2=7𝑐𝑚，则⊙𝑂1和⊙𝑂2的位置关系是（）A.外离B.外切C.内切D.相交6.计算𝑥2−4𝑥−2，结果是()A.𝑥−2B.𝑥+2C.𝑥−42D.𝑥+2𝑥7.在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是()A.中位数是8B.众数是9C.平均数是8D.极差是78.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，转动这个四边形，使它形状改变，当∠𝐵=90∘时，如图①，测得𝐴𝐶=2，当∠𝐵=60∘时，如图②，𝐴𝐶=()A.√2B.2C.√6第3页共28页◎第4页共28页D.2√29.已知正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘0)的图象上两点𝐴(𝑥1, 𝑦1)、𝐵(𝑥2, 𝑦2)，且𝑥1𝑥2，则下列不等式中恒成立的是（）A.𝑦1+𝑦20B.𝑦1+𝑦20C.𝑦1−𝑦20D.𝑦1−𝑦2010.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐶𝐸𝐹𝐺都是正方形，点𝐺在线段𝐶𝐷上，连接𝐵𝐺，𝐷𝐸，𝐷𝐸和𝐹𝐺相交于点𝑂，设𝐴𝐵=𝑎，𝐶𝐺=𝑏(𝑎𝑏)．下列结论：①△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸；②𝐵𝐺⊥𝐷𝐸；③𝐷𝐺𝐺𝐶=𝐺𝑂𝐶𝐸；④(𝑎−𝑏)2⋅𝑆△𝐸𝐹𝑂=𝑏2⋅𝑆△𝐷𝐺𝑂．其中结论正确的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴=60∘，∠𝐵=80∘，则∠𝐶的外角的度数是________∘．已知𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点𝑃在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，垂足分别为点𝐷，𝐸，𝑃𝐷=10，则𝑃𝐸的长度为________．代数式1|𝑥|−1有意义时，𝑥应满足的条件为________．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留𝜋）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：________，该逆命题是________命题（填“真”或“假”）．若关于𝑥的方程𝑥2+2𝑚𝑥+𝑚2+3𝑚−2=0有两个实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1(𝑥2+𝑥1)+𝑥22的最小值为________．三、解答题（共9小题，满分102分）解不等式：5𝑥−2≤3𝑥，并在数轴上表示解集．如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐸𝐹过点𝑂且与𝐴𝐵，𝐶𝐷分别相交于点𝐸，𝐹，求证：△𝐴𝑂𝐸≅△𝐶𝑂𝐹．已知多项式𝐴=(𝑥+2)2+(1−𝑥)(2+𝑥)−3．(1)化简多项式𝐴；(2)若(𝑥+1)2=6，求𝐴的值．某校初三(1)班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12𝑎一分钟跳绳80.16投掷实心球𝑏0.32推铅球50.10合计501(1)求𝑎，𝑏的值；(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；(3)在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率．第5页共28页◎第6页共28页已知一次函数𝑦=𝑘𝑥−6的图象与反比例函数𝑦=−2𝑘𝑥的图象交于𝐴，𝐵两点，点𝐴的横坐标为2．(1)求𝑘的值和点𝐴的坐标；(2)判断点𝐵所在象限，并说明理由．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶＝4√5，cos𝐶=√55．（1）动手操作：利用尺规作以𝐴𝐶为直径的⊙𝑂，并标出⊙𝑂与𝐴𝐵的交点𝐷，与𝐵𝐶的交点𝐸（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：𝐷𝐸^=𝐶𝐸^；②求点𝐷到𝐵𝐶的距离．已知平面直角坐标系中两定点𝐴(−1, 0)、𝐵(4, 0)，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2(𝑎≠0)过点𝐴，𝐵，顶点为𝐶，点𝑃(𝑚, 𝑛)(𝑛0)为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点𝐶的坐标；（2）当∠𝐴𝑃𝐵为钝角时，求𝑚的取值范围；（3）若𝑚32，当∠𝐴𝑃𝐵为直角时，将该抛物线向左或向右平移𝑡(0𝑡52)个单位，点𝐶、𝑃平移后对应的点分别记为𝐶′、𝑃′，是否存在𝑡，使得首位依次连接𝐴、𝐵、𝑃′、𝐶′所构成的多边形的周长最短？若存在，求𝑡的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 // 𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶＝90∘，𝐴𝐵＝3，𝐵𝐶＝4，𝐶𝐷＝5．点𝐸为线段𝐶𝐷上一动点（不与点𝐶重合），△𝐵𝐶𝐸关于𝐵𝐸的轴对称图形为△𝐵𝐹𝐸，连接𝐶𝐹．设𝐶𝐸＝𝑥，△𝐵𝐶𝐹的面积为𝑆1，△𝐶𝐸𝐹的面积为𝑆2．（1）当点𝐹落在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的中位线上时，求𝑥的值；（2）试用𝑥表示𝑆2𝑆1，并写出𝑥的取值范围；（3）当△𝐵𝐹𝐸的外接圆与𝐴𝐷相切时，求𝑆2𝑆1的值．第7页共28页◎第8页共28页参考答案与试题解析2014年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.【答案】A【考点】相反数【解析】直接根据相反数的定义求解．【解答】解：𝑎的相反数为−𝑎．故选𝐴．2.【答案】D【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【解答】解：𝐴、不是中心对称图形，故𝐴选项错误；𝐵、不是中心对称图形，故𝐵选项错误；𝐶、不是中心对称图形，故𝐶选项错误；𝐷、是中心对称图形，故𝐷选项正确；故选：𝐷．3.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】在直角△𝐴𝐵𝐶中利用正切的定义即可求解．【解答】解：在直角△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴𝐵𝐶=90∘，∴tan𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐵=43．故选𝐷．4.【答案】C【考点】同底数幂的除法分式的加减运算幂的乘方与积的乘方合并同类项【解析】𝐴、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；𝐵、原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；𝐶、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；𝐷、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：𝐴，原式=4𝑎𝑏，故𝐴选项错误；𝐵，原式=𝑎+𝑏𝑎𝑏，故𝐵选项错误；𝐶，原式=𝑎4，故𝐶选项正确；𝐷，原式=𝑎6𝑏3，故𝐷选项错误．故选𝐶．5.【答案】A【考点】圆与圆的位置关系【解析】由⊙𝑂1与⊙𝑂2的半径分别为3𝑐𝑚、2𝑐𝑚，且圆心距𝑂1𝑂2=7𝑐𝑚，根据两圆位置关系与圆心距𝑑，两圆半径𝑅，𝑟的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙𝑂1与⊙𝑂2的半径分别为3𝑐𝑚、2𝑐𝑚，且圆心距𝑂1𝑂2=7𝑐𝑚，又∵3+27，∴两圆的位置关系是外离．故选：𝐴．6.【答案】B【考点】约分平方差公式【解析】首先利用平方差公式分解分子，再约去分子分母中得公因式．【解答】解：𝑥2−4𝑥−2=(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥−2=𝑥+2.故选𝐵．7.【答案】B【考点】极差第9页共28页◎第10页共28页众数中位数加权平均数【解析】由题意可知：总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取中间两个数的平均数为中位数，则中位数为8.5；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，则这组数据的众数为9；这组数据的平均数=(7+10+9+8+7+9+9+8)÷8=8.375；一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为3．【解答】解：𝐴，按从小到大排列为：7，7，8，8，9，9，9，10，中位数是：(8+9)÷2=8.5，故𝐴选项错误；𝐵，9出现了3次，次数最多，所以众数是9，故𝐵选项正确；𝐶，平均数=(7+10+9+8+7+9+9+8)÷8=8.375，故𝐶选项错误；𝐷，极差是：10−7=3，故𝐷选项错误．故选𝐵．8.【答案】A【考点】正方形的性质勾股定理的应用等边三角形的判定方法【解析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形即可求得．【解答】解：如图1，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴，∠𝐵=90∘，∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，连接𝐴𝐶，则𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=√12𝐴𝐶2=√12×22=√2，如图2，∠𝐵=60∘，连接𝐴𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∴𝐴𝐶=𝐴𝐵=𝐵𝐶=√2．故选𝐴.9.【答案】C【考点】一次函数图象上点的坐标特点正比例函数的图象【解析】根据𝑘0，正比例函数的函数值𝑦随𝑥的增大而减小解答．【解答】解：∵直线𝑦=𝑘𝑥的𝑘0，∴函数值𝑦随𝑥的增大而减小，∵𝑥1𝑥2，∴𝑦1𝑦2，∴𝑦1−𝑦20．故选𝐶．10.【答案】B【考点】全等三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定正方形的性质【解析】由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐶𝐸𝐹𝐺是正方形，根据正方形的性质，即可得𝐵𝐶=𝐷𝐶，𝐶𝐺=𝐶𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺=90∘，则可根据𝑆𝐴𝑆证得①△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸；然后延长𝐵𝐺交𝐷𝐸于点𝐻，根据全等三角形的对应角相等，求得∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐷𝐺𝐻=90∘，则可得②𝐵𝐻⊥𝐷𝐸．由△𝐷𝐺𝐹与△𝐷𝐶𝐸相似即可判定③错误，由△𝐺𝑂𝐷与△𝐹𝑂𝐸相似即可求得④．【解答】解：①∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐶𝐸𝐹𝐺是正方形，∴𝐵𝐶=𝐷𝐶，𝐶𝐺=𝐶𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺=90∘，∴∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸，在△𝐵𝐶𝐺和△𝐷𝐶𝐸中，{𝐵𝐶=𝐷𝐶∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸𝐶𝐺=𝐶𝐸，∴△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，故①正确；②延长𝐵𝐺交𝐷𝐸于点𝐻，∵△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸，∴∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐶𝐷𝐸，又∵∠𝐶𝐵𝐺+∠𝐵𝐺𝐶=90∘，∴∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐷𝐺𝐻=90∘，∴∠𝐷𝐻𝐺=90∘，第11页共28页◎第12页共28页∴𝐵𝐻⊥𝐷𝐸；∴𝐵𝐺⊥𝐷𝐸．故②正确；③∵四边形𝐺𝐶𝐸𝐹是正方形，∴𝐺𝐹 // 𝐶𝐸，∴𝐷𝐺𝐷𝐶=𝐺𝑂𝐶𝐸，∴𝐷𝐺𝐺𝐶=𝐺𝑂𝐶