新北师大版八年级下第一章三角形的证明全章学案

连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料1新北师大版八年级下第一章三角形的证明学案§1.1等腰三角形（1）1．列举我们已知道的公理：（1）公理：同位角，两直线平行。（2）公理：两直线，同位角。（3）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）（4）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）（5）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）（6）公理：全等三角形的对应边，对应角。2．什么叫做等腰三角形？三角形全等的判定判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论:（简写为AAS）等腰三角形的性质定理等腰三角形性质：等腰三角形的两个相等（简称：等对等）探索一：已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF求证:△ABC≌△DEF证明:探索二：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C探索三：在上图中，若取BC的中点D，并连接AD，那么线段AD是BC边上的中线外还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？推论:简述为三线合一归纳：1、在等腰△ABC中，若AD是∠A的平分线，则2、在等腰△ABC中，若AD是BC边上的高，则3、在等腰△ABC中，若AD是BC边上的中线，则知识反馈：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC和∠ACB的角平分线BD、CE相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCBABCFEDABCABCDABCEDO连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料2§1.1等腰三角形（2）等腰三角形两底角的平分线②等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是三角形探索一：等腰三角形两底角的平分线相等吗？1．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线求证：BD＝CE。2、求证：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？探索二：我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？由此得到什么结论？证明：等腰三角形判定定理:有两个相等的三角形是等腰三角形（简称：等对等）已知：在△ABC中，∠B＝∠C，证明:AB＝AC，四、知识反馈1、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD//BC,且∠1=∠2求证：AB=AC2、如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形.AEDBC12ABC连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料3§1.1等腰三角形（3）等边三角形的判定定理有一个角等于的等腰三角形是等边三角形②300角所对的直角边与斜边关系定理在直角三角形中，如果一个锐角是300，那么它所对的直角边等于探索一：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形探索二：含300角的直角三角形的性质如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，求证：BC=1/2AB定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么知识反馈1、证明:三个角都相等的三角形是等边三角形2、直角三角形的一个角等于30o,斜边长为4,用四个这样的直角三角形拼成如图所示,求正方形EFGH的边长.3．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD（1）（2）BCABCAD图1-7C连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料4§1.2直角三角形（1）1、勾股定理的内容是：__________________它的条件是：______________________________结论是：__________________________________2、每个命题都是由，两部分组成。命题“对顶角相等”的条件是，结论是3勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形是直角三角形。②互逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题③互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。证明定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。已知：（如图）在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形。证明：(1)（2）知识运用：1.如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：BA∥DC2：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。（1）.全等三角形面积相等（2）、等边对等角；（3）、平行四边形的两组对边相等；3、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是____________________________4、若一个直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长20cm，则两直角边为____5、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_____6、在△ABC中，已知AB=13cm，BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm求证：AB=ACABCA1B2C1DCBA12915连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料521EFABCD§1.2直角三角形（2）在一般三角形中，我们已学过了哪些证明三角形全等的方法：那么在直角三角形中还多了一种方法是：①斜边,直角边(HL)定理斜边和一条直角边的两个直角三角形全等把这条定理写成推理格式如下：知识反馈：1如图：已知∠ACB=∠BDA=90°。要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把他们分别写出来，并说明理由。2：在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：AD是∠BAC的角平分线3：如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC，求证：EB=FC4、判断下列命题的真假，并说明理由（1）、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;（2）、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;（3）、两直角边对应相等的两个直角三角形全等;5、如图，∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC。求证：BA=EDABCDEDABCCBADEF连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料6ABCPMNlAB仓库仓库§1.3线段的垂直平分线（1）1、什么是线段的垂直平分线2、线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离②线段垂直平分线的判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的探索一：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等已知：直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，点P上MN上的任意一点。求证：PA=PB证明：探索二：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上已知：如图：已知PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上。证明：做一做：用尺规作出已知线段AB的垂直平分线CD四、知识反馈1、如右图，两个仓库A、B位于河岸的同侧，为了出口方便，他们想在河岸边上建造一个码头，使这个码头到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？请画出符合条件的食品加工厂的位置。2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于D点，交AC于E点，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm，○1求BC的长？○2若∠A=36°，并且AB=AC，求证：BC=BEPACBABCAENMBD河岸连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料7§1.3线段的垂直平分线（2）1、利用尺规作三角形三边的垂直平分线。2、已知：△ABC（如右图）。求作：线段AB、BC、AC的垂直平分线。3、证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。已知：如右图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F。求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，∴=（）．同理可得，PB=．∴=（等量代换）．∴（到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的）∴AB、BC、AC的垂直平分线。4、做一做：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.知识运用、1、如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC。2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。求证：CM=2BM.CBAEFBACP连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料8OCB1A2PDEOCB1A2PDE§1.4角平分线（1）1．角平分线的定义：__________________________2、什么叫点到直线的距离？②用直尺和圆规作角的平分线探索一：证明角平分线定理：角平分线上的点到叫两边的距离相等已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.探索二：证明定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知:如图,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.知识运用：1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1=∠2。求证：OB=OC。2、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE=BD。求证：P在∠ACB的角平分线上。OAB21OEDABCPCBADE连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料9§1.4角平分线（2）1、画一个三角形，然后用直尺和圆规作出三条角平分线。2、证明定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上,且PD=PE=PF3、如图,△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.4：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．(1)求证：OC=OD(2)说明OP是CD的垂直平分线．5.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD6.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上._D_M_E_F_N_C_B_A_PADBECPDAECOB连平县青少年宫春季数学兴趣班学习资料10