有关线性方程组求解及解的判定的一些思考

有关线性方程组求解及解的判定的一些思考摘要：线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。关键词：克莱姆法则，消元法，矩阵的秩，特解，通解。一.线性方程组的解法1.1克莱姆法则在线性方程组中的应用（1）用克莱姆法则解方程组12341242341234258,369,225,4760xxxxxxxxxxxxxx.解：6741212060311512D···0272733故线性方程组有解。,8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D,2707415120903185124D,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx（2）设曲线230123yaaxaxax通过四点（1，3）、（2，4）、（3，3）、（4，－3），求系数0123,,,aaaa.解：将四点的坐标代入曲线方程，得线性方程组01230123012301233248439273416643aaaaaaaaaaaaaaaa，其系数行列式1111124812013927141664D.又12311113114248144836,18,3392713927341664131664DD34113111131248124424,61332713931436414163DD.由克莱姆法则得方程组有惟一解。得0123313,,2,22aaaa.综上所述，可知用克莱姆法则解n个未知量、n个方程的线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，计算量相当大。所以在实际问题中，超过四个未知数的线性方程组一般不采用克莱姆法则求解。尽管如此，克莱姆法则在理论上仍然是相当重要的，因为它清楚地告诉我们，当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有唯一解，又从求解公式中可以看到方程组的解与它们的系数、常数项的关系。2.1利用消元法求解线性方程组消元法是求解线性方程组的最直接、最有效、最一般的方法，它是用初等行变换将增广矩阵[AB]化为[CD]，则AX=B与CX=D是同解方程组。可以利用初等行变换将其增广矩阵[AB]化简，将[AB]化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。2.2消元法的步骤及应用（1）解线性方程组xxxxxxxxxxxxxxxx1234123412341234215320342221.（2.2）解:先写出增广矩阵][BA，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即][BA=11122241130235111211···00000666001114011211则此增广矩阵表示的线性方程组为xxxxxxxxx1234234342141666因此，方程组（2.2）的解1212143241xxxxx.其中x4可以任意取值。由于未知量x4的取值是任意实数，故方程组（2.2）的解有无穷多个，得到了方程组（2.2）的一般解，当未知量x4取定一个值（如x4=1），得到方程组（2.2）的一个解（如x112，x212，x30，x41），称之为方程组（2.2）的特解。我们可以看出用消元法解线性方程组的过程中，实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，用回代的方法求出解。二.线性方程组解的结构1.1齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为：AX=Oaxaxaxaxaxaxaxaxaxnnnnmmmnn111122121122221122000解的情况可以归纳为：1．齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是rA()=n。2．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是rA()n,且此方程组AX=O有n-r个自由未知量。注意：当A为n阶方阵时也可利用矩阵行列式|A|判断。当rA()=n时，方程组AX=O只有零解，故不存在基础解系；而当rA()=r(n)时，方程组AX=O有非零解，故存在基础解系，且基础解系中所含解向量的个数是n-r。由此可得如下结论：当rA()=rn时，方程组AX=O一定有基础解系，且每个基础解系中含有n-r个解向量。若1X，2X，…，rnX为基础解系，则AX=O的全部解为11Xk+22Xk+…+rnrnXk，其中skkk,,,21为任意常数。称为AX=O的通解。如何求方程组AX=O的基础解系呢？把齐次线性方程组的系数写成矩阵A；用初等行变换把A化为阶梯阵；把阶梯阵中非主元列所对应的变量作为自由未知量；分别令自由未知量中一个为1、其余全部为0的办法，求出n-r个解向量，这n-r个解向量构成了基础解系。例：设齐次线性方程组033450623032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx，求其基础解系和通解。解：先写出系数矩阵A，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即A=13345623103112311111···00000001006201051001由此可知54,xx为自由未知量。令14x，05x，得解向量010211X；令04x，15x，得解向量100652X；于是{1X，2X}为方程组的基础解系。通解为11Xk+22Xk，其中21,kk为任意常数。2.2非齐次方程组解的结构非齐次方程组的矩阵表示形式为：AX=Baxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbnnnnmmmnnm11112211211222221122非齐次线性方程组AX=B的解的情况可以归纳为：方程组AX=B有解的充分必要条件是][BAr=rA()；若][BAr=rA()=n时，方程组AX=B有唯一解；若][BAr=rA()=rn时，方程组AX=B有无穷多解，且有n-r个自由未知量。三.线性方程组解的判定根据上述可知线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组是否有解，关键在于增广矩阵[AB]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。3.1解的判定方法线性方程组有解的充分必要是r(A)=r(AB)。推论1线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(AB)=n。推论2线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(AB)n。3.2判定方法的应用判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？(1)xxxxxxxxxxxx12312312312323117236324(2)xxxxxxxxxxxx123123123123231127236325(3)xxxxxxxxxxxx12312312312323117236325解：(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即[AB]=42136132711111321···10000700421011321因为rAB()=4，rA()=3，两者不等，所以方程组无解。(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即[AB]=52136132721111321…00000000411011321因为rAB()=rA()=2n（=3），所以方程组有无穷多解。(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即[AB]=52136132711111321…00000700421011321因为rAB()=rA()=3=n，所以方程组有唯一解。本文通过对线性方程组的总结和归纳，让我对线性方程组有了一个全面的了解。同时，我还了解到了高等代数在实际应用当中的重要作用，也更明白了要学好高等代数的重要性。[参考文献][1]邬弘毅，等.有关解线性方程组的一些思考[J].大学数学，2010（6）.[2]李排昌.矩阵与解线性方程组[M].中国人民公安大学学报，2011（3）.[3]辛奎东.关于线性方程组新解法的探索[J].科教文化.