高考一轮数列复习教案

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法（一）教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。（二）教学重、难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。（三）教学过程1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an(3)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为________．答案：an＝2n－1(n∈N*)2．已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1n为偶数，2n－5n为奇数，则a4·a3＝________.解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.答案：541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确an与Sn的关系an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.[练一练]1．若数列{an}的前n项和S＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________.答案：2n－112．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋qn，且a2＝32，a4＝32，则a8＝________.解析：由已知得2p＋q2＝32，4p＋q4＝32，解得p＝14，q＝2.则an＝14n＋2n，故a8＝94.答案：94考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－||sinnπ2D．an＝－1n－1＋32解析：选C由an＝2－||sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N*)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由an与Sn的关系求通项an[典例]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.[解](1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.[类题通法]已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[针对训练]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*，求{an}的通项公式．解：由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S11，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)·(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an＝3n－1.考点三由递推关系式求数列的通项公式角度一形如an＋1＝anf(n)，求an1．(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.即anan－1＝n＋1n－1.∴an＝a1·a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·an－2an－3·an－1an－2·anan－1＝1·31·42·53·64·…·n－1n－3·nn－2·n＋1n－1＝nn＋12(n≥2)当n＝1时，a1＝1.递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：1形如an＋1＝anfn，求an；2形如an＋1＝an＋fn，求an；3形如an＋1＝Aan＋BA≠0且A≠1，求an.综上可知，{an}的通项公式an＝nn＋12.角度二形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an.解：∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.角度三形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.[类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．[课堂练通考点]1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an是()A.n2n＋1B.n2n－1C.n2n－3D.n2n＋3解析：选B由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n－1.2．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝()A．2n－1B．n2C.n＋12n2D.n2n－12解析：选D设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝n2n－12.3．已知数列{an}满足ast＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：84．(2013·温州适应性测试)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2013＝________.解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005.答案：－10055．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．解：∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，∴{an}的通项公式是an＝4n(n∈N*)．∵Tn＝2－bn，∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，∴2bn＝bn－1.∴数列{bn}是公比为12，首项为1的等比数列．∴bn＝()12n－1.∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设{an}的前k项和数值最大，则有ak≥0，ak＋1≤0，k∈N*，∴22－3k≥0，22－3k＋1≤0，∴193≤k≤223，∵k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.6．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n－2n2＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.（四）作业（五）教学反思第二节等差数列及其前n项和（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；掌握等差数列前N项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；掌握等差数列前N项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与