高中数学--必修二---4.2.2圆与圆的位置关系课件

圆的方程第四章4.2直线、圆的位置关系第四章4.2.2圆与圆的位置关系高效课堂2课后强化作业4优效预习1当堂检测3优效预习1．圆与圆的位置关系(1)外离⇔圆心距__________两圆半径长之和；(2)外切⇔圆心距__________两圆半径长之和；(3)相交⇔圆心距__________两圆半径长之差的绝对值小于两圆半径长之和；(4)内切⇔圆心距__________两圆半径长之差的绝对值；(5)内含⇔圆心距__________两圆半径长之差的绝对值．●知识衔接大于等于大于等于小于2．相切两圆的性质相切两圆的连心线必经过__________点．3．相交两圆的性质相交两圆的连心线__________两圆的公共弦．4．两圆的公切线和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，当两圆在公切线的同侧时，公切线为________公切线；当两圆在公切线的两侧时，公切线为_______公切线．切垂直平分外内5．(2012·重庆卷)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心[答案]C[解析]圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为d.d＝11＋k2≤1r＝2.[考点定位]此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及恒过定点的直线方程，直线与圆的位置关系利用d与r的大小来判断，当0≤dr时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离．6．(2015·湖南浏阳望城高一上学期期末，9)圆P：x2＋y2＝5，则经过点M(－1,2)的切线方程为()A．x－2y－5＝0B．x＋2y＋5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋5＝0[答案]D●自主预习1．判断圆与圆的位置关系(1)几何法：圆O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22(r20)，两圆的圆心距d＝|O1O2|＝x1－x22＋y1－y22，位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系________________|r1－r2|d_________________d|r1－r2|则有：dr1＋r2d＝r1＋r2r1＋r2d＝|r1－r2|(2)代数法：圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，两圆的方程联立得方程组，则有：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数____个____个___个两圆的位置关系____________或___________或______210相交外切内切外离内含2.圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系．常用的圆系有以下几个：(1)圆心为定点(a，b)的同心圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为定值，r是参数．(2)半径为定值r的圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为参数，r0是定值．(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．(4)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圆系中不含圆C2.圆系方程表示的是满足某些条件的圆的集合，在处理有关问题时，利用圆系可使问题得到简化．同心圆系中半径变化，可得圆心相同的一系列的圆；在方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，a，b变化，就得到半径相等的一系列的圆；而过直线与圆的交点的圆系方程是常用的．在过两圆交点的圆系方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)中，要注意参数λ的取值以及此方程不能包括第二个圆，但可以包括第一个圆(λ＝0)．对于过两已知圆交点的圆系方程，当λ＝－1时，得到(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，此为两圆公共弦所在的直线方程．因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程．由此可推广：经过两曲线f(x，y)＝0，g(x，y)＝0交点的曲线系方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0.1．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2的位置关系是()A．相切B．外离C．内含D．相交[答案]C●预习自测[解析]圆x2＋y2＝1的圆心O1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2＝2的圆心O2(0,0)，半径r2＝2，则d＝|O1O2|＝0，|r2－r1|＝2－1，∴d|r2－r1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1公切线的条数为()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]圆x2＋y2＝4的圆心O1(0,0)，半径r1＝2，圆(x－4)2＋(y－7)2＝1的圆心O2(4,7)，半径r2＝1，则d＝|O1O2|＝4－02＋7－02＝65r1＋r2＝3.∴这两圆的位置关系是外离．有4条公用线，故选D．3．圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的直线方程是________.[答案]4x＋3y－2＝0[解析]由圆系方程得公共弦方程为(x2＋y2－12x－2y－13)－(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0，即4x＋3y－2＝0.高效课堂已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系，两圆的位置关系●互动探究[探究]思路1：求圆C1，圆C2的半径r1，r2→求|C1C2|→比较|C1C2|与|r1－r2|，r1＋r2的大小→得出结论思路2：联立圆C1，圆C2的方程→整理成关于x或y的一元二次方程→判断判别式的符号→得出结论[解析]方法1：把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝10，把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5.圆C1和圆C2的圆心距d＝－2－12＋－2－42＝35，又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋10，两半径长之差是r2－r1＝5－10.而5－10355＋10，即r2－r1dr1＋r2，所以，两圆的位置关系是相交．方法2：将两圆的方程联立得到方程组x2＋y2＋4x＋4y－2＝0①x2＋y2－2x－8y－8＝0②，由①－②得x＋2y＋1＝0③，由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0，④方程④的判别式Δ＝02－4×1×(－1)＝40，所以，方程③有两个不相等的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程③，得到x1，x2.所以，圆C1与圆C2有两个不同的公共点(x1，y1)，(x2，y2)，即两圆的位置关系是相交．[注释]由③可得y＝－x＋12，将此式代入①，并整理得x2＋2x－3＝0，同理也可以通过判断上述方程的判别式来判断两圆的位置关系．规律总结：利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，不能准确地判断位置关系(如Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ0仅能说明两圆没有公共点，但确定不了是外离还是内含，所以必须借助于图形)．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．内含[答案]C[解析]解法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝1－22＋0＋12＝2，r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2|C1C2|r1＋r2，两圆相交．解法二：(代数法)联立方程x2＋y2－2x－3＝0，x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，解得x1＝1，y1＝－2，x2＝3，y2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．规律总结：判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法，看两圆连心线的长d，若d＝r1＋r2，两圆外切；d＝|r1－r2|时，两圆内切；dr1＋r2时，两圆外离；d|r1－r2|时，两圆内含；|r1－r2|dr1＋r2时，两圆相交．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．两圆的公共弦问题[探究](1)将两圆的化成标准形式．(2)(3)思路1：求交点．思路2：利用弦长公式求解．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10.∴r1－r2|C1C2|r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)方法1：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0①x2＋y2＋2x＋2y－8＝0②两式相减得x＝2y－4③，把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4，y1＝0或x2＝0，y2＝2，∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.方法2：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，∴两圆的公共弦长为2r2－d2＝250－45＝25.规律总结：(1)两圆的公共弦所在直线方程及长度求解步骤①两圆的方程作差，求出公共弦所在直线方程；②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；③利用勾股定理求出半弦长，即得公共弦长．(2)两圆圆心的连线垂直平分两圆的公共弦．(3)两圆的公共弦长的求解转化为其中一个圆的弦长的求解．圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的直线方程是________，公共弦长为________.[答案]4x＋3y－2＝010[解析]已知圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0，①圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，②①－②得24x＋18y－12＝0，即4x＋3y－2＝0.把圆C1，圆C2化成标准方程分别为圆C1：(x－6)2＋(y－1)2＝50，圆心为(6,1)，r1＝52，圆C2：(x＋6)2＋(y＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r2＝55，则连心线的长|C1C2|＝6＋62＋1＋82＝15，从而r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2.故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x＋3y－2＝0.圆C1的圆心到直线的距离d＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5，故公共弦长为2r21－d2＝250－25＝10.(1)(2015·哈尔滨高二检测)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6