高等数学教案ch-10--曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分教学目的：1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5.知道散度与旋度的概念，并会计算。6．会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。教学重点:1、两类曲线积分的计算方法；2、格林公式及其应用；3、两类曲面积分的计算方法；4、高斯公式、斯托克斯公式；5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教学难点：1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。§10.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)求曲线形构件的质量把曲线分成n小段s1s2sn(si也表示弧长)任取(ii)si得第i小段质量的近似值(ii)si整个物质曲线的质量近似为iiinisM),(1令max{s1s2sn}0则整个物质曲线的质量为iiinisM),(lim10这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(xy)在L上有界在L上任意插入一点列M1M2Mn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si又(ii)为第i个小段上任意取定的一点作乘积f(ii)si(i12n)并作和iiinisf),(1如果当各小弧段的长度的最大值0这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作dsyxfL),(即iiiniLsfdsyxf),(lim),(10其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段设函数f(xy)定义在可求长度的曲线L上并且有界将L任意分成n个弧段s1s2sn并用si表示第i段的弧长在每一弧段si上任取一点(ii)作和iiinisf),(1令max{s1s2sn}如果当0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作dsyxfL),(即iiiniLsfdsyxf),(lim),(10其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(xy)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分dsyxfL),(是存在的以后我们总假定f(xy)在L上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分dsyxL),(的值其中(xy)为线密度对弧长的曲线积分的推广iiiinisfdszyxf),,(lim),,(10如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定dsyxfdsyxfdsyxfLLLL),(),(),(2121闭曲线积分如果L是闭曲线那么函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作dsyxfL),(对弧长的曲线积分的性质性质1设c1、c2为常数则dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfcLLL),(),()],(),([2121性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则dsyxfdsyxfdsyxfLLL),(),(),(21性质3设在L上f(xy)g(xy)则LLdsyxgdsyxf),(),(特别地有LLdsyxfdsyxf|),(||),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为Ldsyxf),(另一方面若曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则质量元素为dtttttfdsyxf)()()](),([),(22曲线的质量为dtttttf)()()](),([22即dtttttfdsyxfL)()()](),([),(22定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0则曲线积分dsyxfL),(存在且dtttttfdsyxfL)()()](),([),(22()证明（略）应注意的问题定积分的下限一定要小于上限讨论(1)若曲线L的方程为y(x)(axb)则dsyxfL),(?提示L的参数方程为xxy(x)(axb)dxxxxfdsyxfbaL)(1)](,[),(2(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd)则dsyxfL),(?提示L的参数方程为x(y)yy(cyd)dyyyyfdsyxfdcL1)(]),([),(2(3)若曲的方程为x(t)y(t)z(t)(t)则dszyxf),,(?提示dtttttttfdszyxf)()()()](),(),([),,(222例1计算dsyL其中L是抛物线yx2上点O(00)与点B(11)之间的一段弧解曲线的方程为yx2(0x1)因此10222)(1dxxxdsyL10241dxxx)155(121例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)解取坐标系如图所示则LdsyI2曲线L的参数方程为xRcosyRsin()于是LdsyI2dRRR2222)cos()sin(sindR23sinR3(sincos)例3计算曲线积分dszyx)(222其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧解在曲线上有x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2并且dtkadtktatads22222)cos()sin(于是dszyx)(2222022222)(dtkatka)43(3222222kaka小结用曲线积分解决问题的步骤(1)建立曲线积分(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确定参数的变化范围(3)将曲线积分化为定积分(4)计算定积分§102对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B试求变力F(xy)所作的功用曲线L上的点AA0A1A2An1AnB把L分成n个小弧段设Ak(xkyk)有向线段1kkAA的长度为sk它与x轴的夹角为k则kkkkksAA}sin,{cos1(k012n1)显然变力F(xy)沿有向小弧段1kkAA所作的功可以近似为kkkkkkkkkkksyxQyxPAAyx]sin),(cos),([),(1F于是变力F(xy)所作的功111),(kkkknkAAyxWF11]sin),(cos),([nkkkkkkkksyxQyxP从而LdsyxQyxPW]sin),(cos),([这里(xy){cossin}是曲线L在点(xy)处的与曲线方向一致的单位切向量把L分成n个小弧段L1L2Ln变力在Li上所作的功近似为F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi变力在L上所作的功近似为]),(),([1iiiniiiiyQxP变力在L上所作的功的精确值]),(),([lim10iiiniiiiyQxPW其中是各小弧段长度的最大值提示用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量用si表示si的模对坐标的曲线积分的定义定义设函数f(xy)在有向光滑曲线L上有界把L分成n个有向小弧段L1L2Ln小弧段Li的起点为(xi1yi1)终点为(xiyi)xixixi1yiyiyi1(i)为Li上任意一点为各小弧段长度的最大值如果极限niiiixf10),(lim总存在则称此极限为函数f(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作Ldxyxf),(即niiiiLxfdxyxf10),(lim),(如果极限niiiiyf10),(lim总存在则称此极限为函数f(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作Ldyyxf),(即niiiiLyfdyyxf10),(lim),(设L为xOy面上一条光滑有向曲线{cossin}是与曲线方向一致的单位切向量函数P(xy)、Q(xy)在L上有定义如果下列二式右端的积分存在我们就定义LLdsyxPdxyxPcos),(),(LLdsyxQdyyxQsin),(),(前者称为函数P(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分后者称为函数Q(xy)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分定义的推广设为空间内一条光滑有向曲线{coscoscos}是曲线在点(xyz)处的与曲线方向一致的单位切向量函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在)dszyxPdxzyxPcos),,(),,(dszyxQdyzyxQcos),,(),,(dszyxRdzzyxRcos),,(),,(niiiiiLxfdxzyxf10),,(lim),,(niiiiiLyfdyzyxf10),,(lim),,(niiiiiLzfdzzyxf10),,(lim),,(对坐标的曲线积分的简写形式dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPLLL),(),(),(),(dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(对坐标的曲线积分的性质(1)如果把L分成L1和L2则21LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx(2)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的有向曲线弧则LLdyyxQdxyxPdyxQdxyxP),(),(),(),(两类曲线积分之间的关系设{cosisini}为与si同向的单位向量我们注意到{xiyi}si所以xicosis