第四讲对数函数及指数函数经典难题复习巩固

专业整理分享完美DOC格式精典专题系列第4讲指数函数与对数函数一、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？”他答道：“试过了。”“不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。”精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。二、知识点回顾：1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*当n是奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方根是一个na零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有，这两个数互为±na(a0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式．①nan＝②(na)n＝(注意a必须使na有意义)．2.幂的有关概念①正分数指数幂：＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：＝＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．y＝axa＞10＜a＜1图象DSE金牌化学专题系列专业整理分享完美DOC格式3．指数函数的图象与性质4．对数的概念(1)对数的定义如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)两种常见对数对数形式特点记法常用对数底数为lgx自然对数底数为lnx5．对数的性质、换底公式与运算法则性质①loga1＝，②logaa＝，③＝。换底公式logab＝(a，b，c均大于零且不等于1)运算法则如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(M·N)＝，②loga＝，定义域R值域(0，＋∞)y＝axa＞10＜a＜1性质(1)过定点(2)当x＞0时，；x＜0时，(2)当x＞0时，；x＜0时，(3)在R上是(3)在R上是专业整理分享完美DOC格式③logaMn＝nlogaM(n∈R).6.对数函数的定义、图象与性质定义函数(a0，且a≠1)叫做对数函数图象a10a1性质(1)定义域：(2)值域：(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(4)当0x1时，；当x1时，(4)当0x1时，当x1时，y∈y∈；(5)在(0，＋∞)上为(5)在(0，＋∞)上为7．反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．三、专题训练：计算下列各式(1)133()2×(－76)0＋148×42＋(32×3)6－232()3；考点一有理指数幂的化简与求值专业整理分享完美DOC格式(2)a35b2·35b34a3；(3)413322333824aabaabb÷(1－23ba)×3a.[自主解答](1)原式＝133()2×1＋342×142＋(132×123)6－133()2＝2＋4×27＝110.(2)a35b2·35b34a3＝33212a·321510b＝54a＝a4a.(3)令13a＝m，13b＝n，则原式＝m4－8mn3m2＋2mn＋4n2÷(1－2nm)·m＝3－8n3m2＋2mn＋4n2·m2m－2n＝m3－2＋2mn＋4n22＋2mn＋4n2－＝m3＝a.变式训练：计算下列各式(1)138()125－(－78)0＋[(－2)3]43＋1643＋|－1100|12；(2)9332aa÷3a－73a13；(3)(－338)23＋(1500)12－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3＋110＝52－1＋116＋18＋110＝14380.专业整理分享完美DOC格式(2)原式＝936671366aaaa＝973136666a＝a0＝1.(3)(3)原式＝(－1)23×(338)23＋(1500)12－105－2＋1＝(278)23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[自主解答]函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．思考：保持条件不变，讨论函数y＝|3x－1|的单调性.解：由例2所作图象可知，函数y＝|3x－1|在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数.变式训练：已知函数y＝(13)|x＋1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．解：(1)法一：由函数解析式可得考点二指数函数的图象专业整理分享完美DOC格式y＝(13)|x＋1|＝13x＋1，x≥－13x＋1，x＜－1.，其图象由两部分组成：一部分是：y＝(13)x(x≥0)―――→向左平移1个单位y＝(13)x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x＜0)―――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x＜－1)．如图所示：法二：①由y＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝(13)x的图象，保留x≥0的部分，当x0时，其图象是将y＝(13)x(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝(13)|x|的图象．②将y＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y＝(13)|x＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．(3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．已知函数f(x)＝2431()3axx.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围．[自主解答](1)当a＝－1时，f(x)＝2431()3xx，考点三指数函数的性质专业整理分享完美DOC格式令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝(13)t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝(13)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有a012a－164a＝－1，解得a＝1即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y＝(13)h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能有a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.变式训练：已知g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．解：由g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5＝－(12)2x＋4(12)x＋5.∴函数的定义域为R，令t＝(12)x(t0)．∴g(t)＝－t2＋4t＋5＝－(t－2)2＋9.∵t0，∴g(t)＝－(t－2)2＋9≤9，等号成立条件是t＝2，即g(x)≤9，等号成立条件是(12)x＝2，即x＝－1.∴g(x)的值域是(－∞，9]．由g(t)＝－(t－2)2＋9(t0)，而t＝(12)x是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间．专业整理分享完美DOC格式求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间．∵g(t)在(0,2]上递增，在[2，＋∞)上递减，由0t＝(12)x≤2，可得x≥－1，由t＝(12)x≥2，可得x≤－1.∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增．故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)．【例4】(1)计算：lg5(lg8＋lg1000)＋(3lg2)2＋lg16＋lg0.06；(2)化简：log34273·log5[21log1024－23(33)－27log7]；(3)已知：lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，求32logxy的值．[自主解答](1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋(3lg5)－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.(2)原式＝(log3427－1)·log5(10－3－2)＝(34－1)log55＝－14.(3)∵lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)∴xy＝(2x－3y)2＝4x2＋9y2－12xy即4x2－13xy＋9y2＝0∴(4x－9y)(x－y)＝0，即4x＝9y，x＝y(舍去)，∴32logxy＝32log94＝2.变式训练：计算：(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)；(2)15(lg32＋log416＋6lg12)＋15lg15.考点四对数式的化简与求值专业整理分享完美DOC格式解：(1)原式＝(log32＋12log32)(12log23＋13log23)＝(log32＋log32)(log23＋log233)＝log322·log2(3·33)＝log3322·log2563＝32·log32·56·log23＝54.(2)原式＝15[lg32＋2＋lg(12)6＋lg15]＝15[2＋lg(32×164×15)]＝15(2＋lg110)＝15[2＋(－1)]＝15.【例5】比较下列各组数的大小．(1)log323与log565；(2)log1.10.7与log1.20.7；(3)已知12logb12loga12logc，比较2b,2a,2c的大小关系．[自主解答](1)∵log323log31＝0，而log565log51＝0，∴log323log565.(2)法一：∵00.71,1.11.2，∴0log0.71.1log0.71.2.∴1log0.71.11log0.71.2，由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.考点五对数值的大小比较专业整理分享完美DOC格式法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)∵y＝12logx为减函数，且12logb12loga12logc，∴bac.而y＝2x是增函数，∴2b2a2c.变式训练：设a、b、c均为正数，且2a＝12loga，(12)b＝12logb，(12)c＝log2c，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac解析：如图：∴abc.考点六对数函数图象与性质的应用专业整理分享完美DOC格式【例6】已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果对于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．[自主解答]∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x∈