2020高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2讲平面向量的基本定理及坐标表示pp

平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章第二讲平面向量的基本定理及坐标表示1知识梳理双基自测2考点突破互动探究3名师讲坛素养提升知识梳理双基自测1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝_____________.2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与_____________________的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝________，j＝(0,1)，0＝________.不共线λ1e1＋λ2e2x轴，y轴正方向相同(x，y)(1,0)(0,0)3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_________________，a－b＝__________________，λa＝____________，|a|＝____________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝______________________，|AB→|＝________________________.4．向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔___________________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12x1y2－x2y1＝0两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．1．(2018·北京十五中模拟)如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a－2b＝()A．(9,8)B．(－7，－4)C．(7,4)D．(－9，－8)[解析]a－2b＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B．B2．(2018·四川内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)B[解析]A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B．3．在△ABC中，已知A(2,1)，B(0,2)，BC→＝(1，－2)，则向量AC→＝()A．(0,0)B．(2,2)C．(－1，－1)D．(－3，－3)C[解析]因为A(2,1)，B(0,2)，所以AB→＝(－2,1)．又因为BC→＝(1，－2)，所以AC→＝AB→＋BC→＝(－2,1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C．4．(2018·郑州外国语学校调研)设向量a＝(2tanα，tanβ)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，则tan(α＋β)等于()A．17B．－15C．15D．－17A[解析]由题意可知a＋b＝(2tanα＋4，tanβ－3)＝(0,0)．∴tanα＝－2，tanβ＝3，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝17.5．(文)(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝_______.(理)(2018·吉林省统考)向量a＝(－1,1)，b＝(x，－2)，若(a＋2b)∥b，则x＝()A．1B．－32C．2D．27－6C[解析](文)因为a∥b，所以m3＝4－2，解得m＝－6.(理)由题意知a＋2b＝(2x－1，－3)，又(a＋2b)∥b，∴－2(2x－1)＋3x＝0，∴x＝2，故选C．考点突破互动探究(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)考点1平面向量基本定理的应用——师生共研例1B(2)如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与CO→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.6[分析](1)利用基底的概念逐一判断；(2)利用平行四边形法则对OC→作关于OA→，OB→为基底的分解．[解析](1)若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3,2)表示出来，故选B．(2)解法一：以λOA→和μOB→为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则OC→＝OB1→＋OA1→.因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC→＝4OA→＋2OB→，所以λ＋μ＝6.解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，C(23cos30°，23sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1,0)，C(3，3)，B(－12，32)．由OC→＝λOA→＋μOB→＝λ(1,0)＋μ(－12，32)，即(λ－12μ，32μ)＝(3，3)，得λ－12μ＝3，32μ＝3，所以μ＝2，λ＝4，所以λ＋μ＝6.[引申]若将本例(2)中“OC→＝λOA→＋μOB→”改为“OB→＝λOA→＋μOC→”则λ＋μ＝________.－32[解析]过点B作BH∥OA交OC于H，由例(2)知在Rt△OBH中，|BH|＝2，|OH|＝3，∴OB→＝OH→＋HB→＝12OC→－2OA→，∴λ＝－2，μ＝12，故λ＋μ＝－32.应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1－2e2与－e1＋2e2〔变式训练1〕D(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB→，BC→分别为a，b，则AH→＝()A．25a－45bB．25a＋45bC．－25a＋45bD．－25a－45bB[解析](1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，1＝－λ，无解；选项D中，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以两向量是共线向量．故选D．(2)解法一：如图，设AH→＝λAF→，DH→＝μDE→.而DH→＝DA→＋AH→＝－b＋λAF→＝－b＋λ(b＋12a)．DH→＝μDE→＝μ(a－12b)．因此，μ(a－12b)＝－b＋λ(b＋12a)．由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25.故AH→＝λAF→＝λ(b＋12a)＝25a＋45b.故选B．解法二：作FM∥BC交ED于M，∵E、F分别为BC、DC的中点，由平面几何知识得HFAH＝FMAD＝FM2EC＝14.即AH＝45AF，∴AH→＝45AF→＝45(12AB→＋AD→)＝25AB→＋45AD→.考点2平面向量坐标的基本运算——自主练透例2(1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.①求3a＋b－3c.②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.③求M，N的坐标及向量MN→的坐标．(2)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_____________.(－4，－2)[解析](1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1..③设O为坐标原点，因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M(0,20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．所以N(9,2)．所以MN→＝(9，－18)．(2)设a＝(x，y)，x0，y0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．角度1利用向量共线求参数的值考点3向量共线的坐标表示及其应用——多维探究例3(2018·课标Ⅲ，13)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.[解析]本题考查向量的坐标运算．由已知得2a＋b＝(4,2)．又c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.12角度2利用向量共线求解综合问题例4(2018·湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(－sinθ，0)，c＝(cosθ，－1)，且(2a－b)∥c，则sin2θ等于________.－1213[解析]由题意知2a－b＝(3sinθ，2)，又(2a－b)∥c，∴－3sinθ＝2cosθ，即tanθ＝－23，∴sin2θ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθtan2θ＋1＝－1213.利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求一个与已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0”比较简捷．〔变式训练2〕A(1)(角度1)(2018·湖南永州模拟)已知a＝(1，－1)，b＝(1,0)，c＝(1，－2)，若a与mb－c平行，则m＝()A．－1B．1C．2D．3(2)(角度2)(2018·贵州遵义航天高级中学模拟)设a＝(1，sinθ)，b＝(3sinθ，1)，且a∥b，则cos2θ＝()A．－13B．－23C．23D．13D[解析](1)由题意知mb－c＝(m－1,2)，又a∥(mb－c)，∴－(m－1)＝2，解得m＝－1，故选A．(2)a＝(1，sinθ)，b＝(3sinθ，1)，且a∥b，所以1×1＝sinθ×3si