必修五单元综合测试四(模块综合测试)

单元综合测试四(模块综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合A＝{y|y＝sinx，x∈R}，B＝{x|x2－x0}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x1}B．{x|－1x1}C．{x|0x1}D．{x|0x≤1}【答案】C【解析】易知A＝{y|－1≤y≤1}，B＝{x|0x1}，所以A∩B＝{x|0x1}．2．设Sn是等差数列{an}的前n项的和，且S5S6，S6＝S7S8，则下列结论中，错误的是()A．d0B．a7＝0C．S9S5D．S6和S7均为Sn的最大值【答案】C【解析】由S5S6，得a1＋a2＋…＋a5a1＋a2＋…＋a5＋a6，所以a60.由S6＝S7S8，得a7＝0，a80.∵a7＝a6＋d，∴d＝－a60.又a60a7＝0，a80∴S6和S7均为Sn的最大值．故应选C.3．在△ABC中，a＝2，b＝3，∠C＝135°，则△ABC的面积等于()A.322B．32C．3D.332【答案】A【解析】S△ABC＝12absinC＝12×2×3×sin135°＝322.4．下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)[答案]A[解析]由1xx知1x－x0，1－x2x0即x(1－x2)0，所以x－1或0x1；由1xx2知1x－x20，1－x3x0，即x(1－x3)0，所以x0或x1，所以x1xx2的解集为x－1，选A.5．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余每只羊的千克数恰能组成一个等差数列，则这群羊共有()A．5只B．6只C．7只D．8只【答案】B【解析】设这群羊共有(n＋1)只，公差为d(d∈N＋)．由题意，得7n＋nn－12d＝55，整理，得14n＋n(n－1)d＝110.分别把n＝5,6,7,8代入验证，只有5符合题意，此时n＝5，d＝2.6．y＝3＋x＋x21＋x(x0)的最小值是()A．23B．－1＋23C．1＋23D．－2＋23【答案】B【解析】y＝3＋x＋x21＋x＝31＋x＋x＝31＋x＋x＋1－1≥23－1，当且仅当31＋x＝1＋x，即x＝3－1时，取等号．此时y有最小值23－1，故选B.7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7a4＝2，则S13S7的值为()A.1314B．2C.713D.267【答案】D【解析】S13S7＝13a1＋a1327a1＋a72＝13a77a4＝137×2＝267.8．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5a2，则an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n【答案】A【解析】a5a2⇒－8a2a2⇒9a20⇒a20，a5＝－8a2⇒a5a2＝－8⇒q3＝－8⇒q＝－2，a2＝a1q0⇒a10.|a1|＝1⇒a1＝1，∴an＝1·(－2)n－1＝(－2)n－1，故选A.9．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加长度决定[答案]A[解析]不妨设Rt△ABC中，c为斜边，并且ca≥b0，c2＝a2＋b2各边都增加长度x(x0)后，有：(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝(a2＋b2－c2)＋x2＋2x(a＋b－c)＝x[x＋2(a＋b－c)]∵a＋bc，x0，∴x[x＋2(a＋b－c)]0∴(a＋x)2＋(b＋x)2(c＋x)2，∴最长边c＋x对的角为锐角．10．(2013·北京理)设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是()A.－∞，43B.－∞，13C.－∞，－23D.－∞，－53【答案】C【解析】依题意，做出可行域，如图阴影部分表示，图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y＝12x－1的上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝12x－1下方，也就是m－12m－1，即m－23.11．已知a0，b0，若不等式a＋b≥maba＋4b恒成立，则m的最大值等于()A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】因为a0，b0，所以a＋4b0，ab0，不等式等价于m≤a＋ba＋4bab＝(1b＋1a)(a＋4b)＝5＋4ba＋ab≥5＋24ba×ab＝9，当且仅当4ba＝ab，即a＝2b时取等号．故m的最大值等于9.12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378[答案]C[解析]图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝n·n＋12，图2中满足bn＝n2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．∵1225＝352＝49×502，∴选C.二、填空题(每小题4分，共16分)13．在等差数列{an}中，已知a1＋a3＋a5＝18，an－4＋an－2＋an＝108，Sn＝420，则n＝________.【答案】20【解析】∵(a1＋a3＋a5)＋(an－4＋an－2＋an)＝3(a1＋an)＝126，∴a1＋an＝42.又Sn＝na1＋an2＝n×422＝420，∴n＝20.14．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为______．【答案】－2【解析】y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4因为t0，y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2.15．已知f(x)为一次函数，且f(1)∈[－1,1]，f(－1)∈[2,3]，则f(2)的取值范围为________．【答案】[－3，12]【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(1)＝a＋b，f(－1)＝－a＋b.由已知可得－1≤a＋b≤1,2≤－a＋b≤3.设f(2)＝mf(1)＋nf(－1)，即2a＋b＝m(a＋b)＋n(－a＋b)，则m－n＝2，m＋n＝1，解得m＝32，n＝－12.而32f(1)∈[－32，32]，－12f(－1)∈[－32，－1]，所以f(2)∈[－3，12]．16．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．【答案】212【解析】an－an－1＝2(n－1)……a2－a1＝2，相加得an－a1＝2＋4＋…＋2(n－1)＝2(1＋2＋…＋(n－1))＝2·nn－12＝n(n－1)，∴an＝n2－n＋33，∴ann＝n＋33n－1，n＝6时，a66＝6＋336－1＝212为最小．三、解答题(共74分，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明步骤.)17．(12分)已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sinC，求角C的度数．【解析】(1)由题意及正弦定理，得AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.(2)由△ABC的面积12BC·AC·sinC＝16sinC，得BC·AC＝13.由余弦定理，得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC＋BC2－2AC·BC－AB22AC·BC＝12，所以∠C＝60°.18．(12分)已知函数f(x)＝log3(x2－4x＋m)的图象过点(0,1)．(1)求实数m的值；(2)解不等式：f(x)≤1.【解析】(1)由已知有f(0)＝log3m＝1，∴m＝3.(2)由(1)知f(x)＝log3(x2－4x＋3)．由x2－4x＋30得x1或x3.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．∵log3(x2－4x＋3)≤1且y＝log3x为增函数，∴0x2－4x＋3≤3，∴0≤x1或3x≤4，∴不等式的解集为{x|0≤x1或3x≤4}．19．(12分)(2013·新课标Ⅱ理)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求∠B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【解析】(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又∠A＝π－(∠B＋∠C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①，②和∠C∈(0，π)得sinB＝cosB.又∠B∈(0，π)，所以∠B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.20．(12分)数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝an(Sn－12)．(1)求Sn的表达式；(2)bn＝Sn2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)当n≥2时，S2n＝an(Sn－12)＝(Sn－Sn－1)·(Sn－12)，化简得Sn·Sn－1＝12(Sn－1－Sn)，∴1Sn－1Sn－1＝2.∴{1Sn}是以1S1＝1为首项，公差为2的等差数列．∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝12n－1(n∈N＋)．(2)∵bn＝Sn2n＋1＝12n＋12n－1＝12(12n－1－12n＋1)，∴Tn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1.21．(13分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)当不等式f(x)0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值．【解析】(1)不等式f(1)0，即－3＋a(6－a)＋b0.整理得a2－6a＋3－b0.∵Δ＝36－4(3－b)＝24＋4b，∴当b－6时，f(1)0的解集为{a|3－6＋ba3＋6＋b}，当b≤－6时，f(1)0的解集为∅.(2)∵不等式－3x2＋a(6－a)x＋b0的解集为(－1,3)，∴f(x)0与不等式(x＋1)(x－3)0同解，由(x＋1)(x－3)0得x2－2x－30，由f(x)0得x2－a6－a3x－b30.∴a6－a3＝2且b3＝3，∴a＝3±3，b＝9.22．(13分)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)若数列{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小．【解析】(1)由2a3＝a1＋a2，得2a1q2＝a1＋a1q，∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－12.(2)①若q＝1，则Sn＝2n＋nn－12·1＝n2＋3n2，当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝n－1n＋220，∴Snbn.②若q＝－12，则Sn＝2n＋nn－12·(－12)＝－n2＋9n4，当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－n－1n－104，∴对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Snbn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Snbn.