高等数学B(上)复习资料

第1页共23页华南理工大学网络教育学院《高等数学（上）》辅导一、求函数值例题：1、若2()fxx，()xxe，则(())fx．解：22(())()xxxfxfeee2、若(1)21fxx，则()fx．解：令1xt，则1xt所以()2(1)123fttt即()23fxx二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：0~sin~tan~arcsin~arctanxxxxxx时,~ln(1)~xxxe-1211cos~,2xx111~2xx第2页共23页无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin3limxxx？解：当0sin3~3xxx，，原式=3200(3)limlim270xxxxx2、0sin3limxxx？解：原式=03lim3xxx3、201-coslimxxx？解：当210cos~2xxx，1-原式=220112lim2xxx第3页共23页4、0ln(13)limxxx？解：当03)~3xxx，ln(1+原式=.03lim3xxx.5、201limxxex？解：当201~2xxex，原式=.02lim2xxx.三、多项式之比的极限2lim03xxxx，2211lim33xxxx，23limxxxx四、导数的几何意义（填空题）0()fx：表示曲线()yfx在点00(,())Mxfx处的切线斜率曲线..()yfx..在点00(,())Mxfx处的切线方程为：000()()()yfxfxxx曲线()yfx在点00(,())Mxfx处的法线方程为：第4页共23页0001()()()yfxxxfx例题：1、曲线44xyx在点(2,3)M的切线的斜率．解：222(4)'(4)(4)(4)(4)xxxxxxyx2282(4)xx2、曲线cosxxye在点(0,1)M处的切线方程．解：200(cos)'cos()()xxxxxxexeye20sincos1()xxxxxexee所以曲线cosxxye在点(0,1)M处的切线方程为：1(0)yx，即10xy3、曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程．解：53112233xxyx第5页共23页所以曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程为：21(1)3yx，即2350xy五、导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：ddd(),()[()]:dddyyuyfuugxyfgxxux()()().yxfugx或微分：()dyfxdx例题：1、设21yx，则'y？解：1'222211121xyxxx2、设2sinyx，则'y？解：''222cos2cosyxxxx3、设sin2xy，则dy？解：''sinsin2ln2sin2cosln2xxyxx第6页共23页则dysin2cosln2xxdx4、设sinxye，则dy？解：''coscosxxxxyeeee所以cosxxdyeedx5、设2xye，则dy？（答案：22xxedx）六、运用导数判定单调性、求极值例题：1、求lnyxx的单调区间和极值．解：定义域(0,)x令ln10yx，求出驻点1xex1(0,)e1e1(,)ey-0+y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为1(0,]e，单调递增区间为1(,)e极小值为11()yee．第7页共23页2、求xyxe的单调区间和极值．解：定义域(,)x令(1)0xxxyexexe，求出驻点1xx(,1)1(1,)y+0-y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为[1,)，单调递增区间为(,1)，极大值为1(1)ye．3、求函数.2()xfxe.的单调区间和极值．解：定义域(,)x令2()2xfxxe，得0xx(,0)0(0,)y+0-y单调增极大值点单调减单调递增区间：(,0)，单调递减区间：(0,)，极大值为(0)1f．4、求函数31()3fxxx的极值．答案：极小值为2(1)3y，第8页共23页极大值为2(1)3y七、隐函数求导例题：1、求由方程2sin0xeyxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx．解：方程两边关于x求导，得：2cos(2)0xeyyyxyy即2cos2xyeyyxy2、求由方程cos()yxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx．解：方程两边同时关于x求导，得：sin()(1)yxyy即sin()1sin()xyyxy第9页共23页3、求由方程sin()yxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx．答案：cos()1cos()dyxydxxy4、求由方程lnln0xyxy所确定的隐函数()yyx的导数dydx．答案：dyydxx八、洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限011lim1sinxxex解：原式0sin(1)lim(1)sinxxxxeex20sin(1)limxxxex.0sin~,1~xxxxex　当时，.0coslim2xxxex0sinlim2xxxe12第10页共23页2、求极限30sinlimtanxxxx00解：原式=30sinlimxxxx0tan~xxx　当时，201coslim3xxx=22012lim3xxx　2101cos~2xxx　当时，163、求201limxxexx00（答案：12）九、原函数、不定积分的概念及其性质知识点：设()()Fxfx，则称()Fx是()fx的一个原函数，()FxC是()fx的全体原函数，且有：()()fxdxFxC例题：第11页共23页1、()是函数33xx的原函数．A．233xB．421342xxC．42xxD．421142xx解：因为42313342xxxx所以421342xx是33xx的原函数．2、()是函数2cosxx的原函数．A．22sinxB．22sinxC．21sin2xD．21sin2x解：因为22211sin(cos)2cos22xxxxx所以21sin2x是2cosxx的原函数．3、x是()的原函数A．12xB．12xC．lnxD．3x解：因为12xx所以x是12x的原函数．第12页共23页4、()是函数1x的原函数．A．21xB．21xC．lnxD．ln||x解：因为1ln||xx所以ln||x是1x的原函数．十、凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2xedx，sin4xdx，cos5xdx,lnlnxdx一般的凑微分问题：21xdxx，223xxdx，sin1cosxdxx，lnxdxx例题：1、21xdxx解：注意到2(1)2xx原式=2211121dxx12dxxCx参考公式1221xC第13页共23页2、223xxdx解：注意到2(23)6xx原式221=23(23)6xdx3223xdxxC参考公式=231(2-3)9xC3、sin1cosxdxx解：注意到(1cos)sinxx原式1=(1cos)1cosdxx1ln||dxxCx参考公式=ln|1cosx|C4、5xedx解：原式=5(5)xedxxxedxeC参考公式=5xeC5、cos5xdx第14页共23页解：原式1cos5(5)5xdxcossinxdxxC参考公式1sin55xC6、sin3xdx解：原式1sin3(3)3xdxsincosxdxxC参考公式1cos33xC十一、不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）知识点：利用换元直接去掉根号：1xe，1xe，x，1x，1x等例题：1、求不定积分11xdxe解：令1xet，则221ln(1)xetxt221tdxdtt原式=22121211tdtdtttt第15页共23页1111dtdtttln|1|ln|1|ttCln|11|ln|11|xxeeC2、4011+dxx．解：令xt，则22xtdxtdt当0042xtxt时，；当时，原式=2200111221+t1+tttdtdt220012()1+tdtdt202(2ln|1|)t2(2ln3)3、101xxdx解：令1xt，则21xt，2dxtdt当0x时，1t；当1x时，2t原积分221(1)2tttdt第16页共23页24212()ttdt253111253tt4(21)15十二、不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sinxxdx，cosxxdx，xxedx，xxedx，lnxxdx，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()uxdvxuxvxvxdux例题：1、求不定积分sinxxdx．解sin(cos)xxdxxdxcos(cos)xxxdxcoscosxxxdxcossinxxxC2、求不定积分xxedx解xxxedxxde第17页共23页xxxeedxxxxeeC3、求不定积分lnxxdx解21lnln()2xxdxxdx2211lnln22xxxdx211ln22xxxdx2211ln24xxxC十三、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：1、定积分23axaxedx等于．解：因为23xxe是x的奇函数，所以原式=02、定积分23sinaaxxdx等于．解：因为23sinxx是x的奇函数，所以原式=0第18页共23页3、定积分22sin1xxdxx等于．解：因为22sin1xxx是x的奇函数，所以原式=0十四、变上限积分函数求导43'()(),()xaFxftdtFx则______解33''()()()Fxfxx233()xfx＝()C变上限积分函数的导数公式'()'()()()xaftdtfxx例题：1、设函数()fx在[,]ab上连续，3()()xaFxftdt，则()Fx（C）．A．()fxB．3()fxC．233()xfxD．23()xfx2、设21()arctanxfxtdt，则()fx22arctanxx．3、设30()sinxfxtdt，则()fx3sinx．第19页共23页十五、凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、12301xxdx解：注意到32(1)3xx原式133011(1)3xdx3223xdxxC参考公式=13302(1)9x2(221)9十六、定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分，思想与不定积分类似例题：1、4011+dxx．解：令xt，则22xtdxtdt当0042xtxt