2013届一轮复习课件立体几何4-空间垂直关系

主页主页1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.一、直线与直线垂直：1.直线与直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂直。2.两直线垂直判定：（1）直线与直线垂直的定义（3）两个平面垂直的性质：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．（2）直线与平面垂直的定义：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任意一条直线．即线面垂直⇒线线垂直二、直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．2.直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任意一条直线．（2）直线与平面垂直判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．3.直线与平面垂直的性质：（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任何直线．（2）垂直于同一个平面的两条直线平行．（3）垂直于同一直线的两平面平行．4.其他结论（1）过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．（2）过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．5.斜线在平面内的射影(1)有关概念：过一点向平面引垂线，垂足叫做这个点在这个平面内的射影．这点与垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段(其长叫做点面距)．一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫斜足．从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段．从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影．注意①斜线上任一点在平面内的射影一定在该斜线的射影上．②平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条．垂线在平面内的射影是一个点．③当直线和平面平行时，直线在平面内的射影是一条和该直线平行的直线．特殊点在平面上的射影1．△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O，(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC外心；(2)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC内心或旁心；(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心。2．∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O(1)若∠PCA＝∠PCB，则O在∠BCA的平分线上；(2)若P到∠BCA两边距离相等，则O在∠BCA的平分线上。(2)定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，斜线段较长射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短．6．三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条直线的射影垂直．注意：①三垂线定理及其逆定理简述为：垂直射影⇔垂直斜线．②三个垂直关系：垂线与平面垂直，射影与平面内的直线垂直，斜线与平面内的直线垂直．③两个定理的区别：三垂线定理是先有平面内的直线垂直于射影的条件，再得出该直线垂直于斜线的结论，而其逆定理则是先有平面内的直线垂直于斜线，再得出该直线垂直于射影．④作用：三垂线定理是已知共面直线垂直，来推导异面直线垂直，其逆定理是通过异面直线垂直来推导共面直线垂直．无论是三垂线定理，还是其逆定理，都是证明线线垂直的重要方法．⑤在运用三垂线定理或其逆定理时，平面内的直线并不一定要求与斜线有交点，只注重垂直的位置关系．7.直线和平面所成角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．(2)关于这个定义有两点应该知道：①直线和平面所成角的范围应是[0，]．②斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的角中最小的．其中“经过斜足”这个限制可以去掉．2(3)求直线和平面所成角的方法①斜线和平面所成角的作法是：如图，设直线l与平面α斜交，O为斜足，在l上取异于O的点A，由点A引平面α的垂线，垂足为B，∠AOB就是斜线l与平面α所成的角．其中点A应根据问题的条件选在l上的适当位置．作法的关键在于确定平面α的垂线AB，实际操作应按以下步骤进行：(ⅰ)首先查看已知条件和的题目所给的图形中是否已有所需要的垂线．(ⅱ)当已知条件和题目所给的图形没有所需要的垂线时，应考虑能否利用两平面垂直的性质定理进行补作．(ⅲ)若无法利用两平面垂直的性质定理作出所需要的垂线，必须直接由点向平面引垂线时，应考虑垂足的位置．②求直线和平面所成角的方法：(ⅰ)射影法：主要依据定义作出斜线在平面内的射影，从而作出线面角，并在直角三角形内求解．(ⅱ)向量法：如图，设平面的法向量为，求出和的夹角，再转化为斜线和平面所成的角．OAnn三、平面与平面垂直：1.二面角：(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角：一个平面垂直于二面角α—l—β的棱l，且与两个半平面分别交于射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角的平面角．(3)关于二面角及其平面角的概念应注意以下几点：①二面角的平面角的大小与垂直于棱的平面的位置无关；②二面角的大小是用它的平面角的大小来度量的，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；③二面角的平面角所在平面垂直于棱．④二面角的范围是[0，π]．(4)求二面角大小的方法①二面角平面角的作法(ⅰ)垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角；(ⅱ)垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；(ⅲ)三垂线法：是指利用三垂线定理或其逆定理作出平面角．如图，在二面角α—a—β的面α上取一点A，作AB⊥β，垂足为B.作BC⊥a，交a于点C，连结AC，根据三垂线定理，有AC⊥a.因此∠ACB就是二面角α—a—β的平面角．也可作AC⊥a，交a于点C，连结BC.三垂线法作平面角的关键仍然是确定平面β的垂线AB.②二面角的求法：(ⅰ)直接作出二面角的平面角求之；(ⅱ)利用异面直线上两点间距离公式：EF＝d＝；(ⅲ)利用射影面积公式：cosθ＝.其中θ为二面角的平面角的大小．S原指二面角一面内的某一几何图形的面积；则S射指此几何图形在另一面内的正射影的面积；(ⅳ)向量法：设平面α、β的法向量分别为n1，n2，则〈n1，n2〉的夹角或其补角为二面角的大小.cos222mnnm原射SS2.平面与平面垂直的定义：3.平面与平面垂直的判定：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β，作画两个平面垂直时，把直立的平面的竖边画成和水平面的横边垂直就可以了．（1）定义法（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．也可简单地表述为：线面垂直⇒面面垂直．(2)两个平面垂直的性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(3)两个平面垂直的性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．(4)两个平面垂直的性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(1)两个平面垂直的性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．4.平面与平面垂直的性质：题型一直线与直线垂直的判定【例1】已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.【思路分析】本题证明的转化途径是：线线垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．证明：如图所示，(1)∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.在矩形ABCD中，AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.1.已知：⊿ABC中∠ABC=900，SA⊥平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影。求证：SC⊥EF2.如图，已知BD⊥平面ABC，MCBD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.211.证明：∵∠ABC=900，SA⊥平面ABC∴AB⊥BC，SA⊥BC∴BC⊥平面SAB，BC⊥AF∵F为点A在SB上的射影∴AF⊥SB∴AF⊥平面SBC∵E为点A在SC上的射影AE⊥SC∴SC⊥EF证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.2.题型二直线与平面垂直的判定【例2】Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点，如图所示．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【思路】(1)要证线面垂直，就要利用判定定理．(2)利用判定定理，证明BD与平面SAC内的两条相交的直线都垂直来解决问题．【解答】(1)取AB中点E，连接SE，DE.在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.∵DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又∵SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC，则BD⊥AC.由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD.∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.【例3】已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝1，棱BB1＝2，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.(1)求证A1C⊥平面EBD；(2)求点A到平面A1B1C的距离．解析：(1)连结AC，则AC⊥BD，∵AC是A1C在平面ABCD内的射影，∴A1C⊥BD；又A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE，∴A1C⊥BE.又∵BD∩BE＝B，∴A1C⊥面EBD.(2)易证：AB∥平面A1B1C，所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离，又BF⊥平面A1B1C.∴所求距离即为BF＝.552121222【点评】证明线面垂直的常用方法：(1)利用线面垂直的定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面．(2)用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直．(3)利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．(4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．1.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面PAC.3.如图39－3所示，A