2019年北京大学数学科学院直博生考试题

北京大学数学科学院2019直博生摸底试题编辑:胡不归2019年4月6日1.(本题20分)设a0;a1=a;a2=aa;a3=aan;:::;an+1=aan(n=1;2;3;:::).记S=fa:数列fang极限存在g.求证:(a)集合S有上界。(1分)(b)求supS的值。(19分)2.(本题20分)(a)求下面函数的导数dydx，其中，y=arctan3x(x21)x44x2+1(b)计算下面定积分的值。I=∫101+x41+x6dx3.(本题20分)试参照积分第二中值定理的表述，给出第一类曲线积分的积分第二中值定理(注意条件和结论表述的精准性)，并给出相应的证明。4.(本题20分)设f(x)和g(x)皆为整个实数轴上的连续函数，其中g(x)以T0为周期。证明:函数方程f(f(x))=x3+g(x)不可能有连续解。5.(本题20分)设D是单位圆盘，在D内，有u=∆u;uj@D=0。证明:u0。6.(本题15分)若a0;a1;a22Q，使得下面矩阵的行列式为零0BB@a0a1a2a2a0+a1a1+a2a1a2a0+a11CCA证明:a0=a1=a2=0。7.(本题25分)设实二次型f(x1;x2;x3)=4x1x22x1x3+3x224x2x3。(a)将f写成xTAx的形式,求实对称矩阵A的特征向量与特征值。(5分)(b)求正交矩阵P及对角矩阵D，使得A=PDPT;作正交替换将f化为标准型。(10分)(c)求二次型f(x)=xTAx在单位球面∥x∥=1上取到的最大值，并确定在何处取到最大值。(10分)128.(本题20分)设矩阵A的列数与矩阵B的行数皆为n。证明:rank(A)+rank(B)=rank(AB)+n当且仅当A解空间fx:Ax=0g为B列空间的子空间。9.(本题10分)若A2Mn(C)是n阶幂零矩阵，定义线性变换TA:Mn(C)!Mn(C);B7!ABBA;8B2Mn(C)若矩阵B满足条件(TA)2B=0，证明:矩阵AB为幂零矩阵。10.(本题30分)在三维空间中取定一个右手坐标系，然后把y=0平面里的圆周(x2)2+z2=1绕z轴旋转，得到一个环面T。其正等轴测投影如下图所示。(a)写出该环面的一个参数方程。(10分)(b)判断该正等轴测投影图的外圈轮廓线是否是示意图所在纸面上的一个椭圆，并证明你的结论。(20分)