Von-Mises分布

VonMises分布1.引言与一元正态分布相对应，VonMises分布常被称作是圆上的正态分布，它是最主要的一种描述方向数据的模型。其中有先混合VonMises模型在天文学、生物学、地理和医药等许多领域有重要的作用。利用分布能够解决很多实际问题。例如，利用VonMises屈值准则，研究材料处于塑性状态的问题，这是在物理学的应用。该分布在医学上也有广泛的应用，可以通过构建保费月度收入的VonMises分布模型，对保费收入的季节波动进行分析，并进一步测算出保费收入高峰的置信区间，从而解决陕西省的保费收入问题。目前，已经有不少文献对VonMises分布进行了研究。祝绍琪、杨宇（1989）对VonMises分布进行了参数估计。李元生、苗建国（1996）利用的密度函数导出了VonMises分布表的一种插值方法。成平、刘义兴（1998）对PP-VonMises统计量P值进行了近似计算。陈家骅、李鹏飞、谭鲜明（2007）对混合VonMises模型进行了参数估计。杨娜、彭作祥（2012）对VonMises条件下的P-max稳定率进行了研究。VonMises分布在方向数据中的重要地位相当于正态分布在平面上随机变量的地位。方向数据参数估计和假设检验大多以VonMises分布为前提。单峰VonMises分布的密度函数为：));cos(exp()(21),;(0kkIkG)(0kI=2120)cosexp(dk；其中，.0,20,20k称是位置参数，k是刻度参数，I0为修正的第一类零阶Bessel函数。当k0时，VonMises分布的密度函数图形呈单峰状，关于对称。k越大，图形越呈尖峭状，越向的邻近集中。k=0时，VonMises分布称为均匀分布。本文研究VonMises分布在基于VonMises分布的参数估计，讨论VonMises分布的极大似然估计和Fisher信息阵。1.VonMises分布的Fisher信息阵设X服从VonMises分布，X1，X2，……，Xn是取自母体的一个样本，则其似然函数为：L(k,)=exp(niiXk1)cos()/))(2(0kIn;对数似然函数为：Ln(L(k,))=-nln(2)-nln(0I(k))+kniiX1)cos(;分别对,k求偏导数，得：niiXkL1);sin(niiXkIknIkL10);cos()()(1进一步，通过计算我们得到：niiXkLI12)cos(;niikXkLI12)sin(;kkLIkk2)()(/)()()(20211020kIknIkkIknIknI;其中)(1kI为修正的第一类一阶Bessel函数.Fisher信息阵为：222222),(kLkLkLLEkIiniinniidXXkkIXkLE))cos(exp())(21()cos(1020122dXXnkXnkkIn))cos(exp()cos())(21(200令;XtdXXnkXnk))cos(exp()cos(2020)cosexp(cosdttnktnk由泰勒公式可知：!!3!21exp32nxxxxxn；!cos!3cos!2coscos1)exp(cos32ntttttn；dtnttttdtttn20202)!cos!2coscos1(cos)exp(coscos200201;!cos)exp(coscosniidtitdttt20201)(sincos!1!costtdidtitii))sin(cossin(cos!1202120dtttittiii2021sincos)!1(1tdttiidtitidtitiii202011!cos)!2(cos11令201!cosdtitAii；则iiiiAAiA211；即2)1)(1(1iiAiiA;;8;0;;03210AAAA;dXXnkXnk))cos(exp()cos(20niiidtitik0201!cos)(niiidtitik0201!cos)(iniiAik0)(iniinniidXXkkIXkLE))cos(exp())(21()cos(1020122dXXnkXnkkIn))cos(exp()cos())(21(200niiinAikkI00)())(21(iniinniidXXkkIXkLE))cos(exp())(21()sin(120012dXXnkXnkIn))cos(exp()sin())(21(2002020)cos()())cos(exp())(21(/1XnkdXnkkIk))cos(exp())(21(/10XnkkIkn0022kLEkLE2022kLE)()(/)()()(20211020kIknIkkIknIknIiniindXXkkI))cos(exp())(21(10)()(/)()()(20211020kIknIkkIknIknIdXXnkkIn200))cos(exp())(21(=)()(/)()()(20211020kIknIkkIknIknInnkIkI))(2())(21(00=)()(/)()()(20211020kIknIkkIknIknI所以Vonmises分布的Fisher信息阵为：)()(/)()()(00)())(21(),(201102000kIknIkkIknIknIAikkIkIniiin