【2019年整理】(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义

大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章平面与空间直线一、本章知识脉络框图方程平面的方程位置关系度量关系直线的方程平面束的方程平面与点的位置关系两平面的位置关系直线与平面的位置关系两直线的位置关系点与直线的位置关系点与平面间的距离空间直线与平面间的角两平面的交角空间两直线的夹角点位式方程点法式方程截距式方程一般式方程法线式方程对称式方程参数式方程一般式方程射影式方程二、本章重点及难点解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线——平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是：平面的各种形式的方程及其相互转换；直线的各种形式的方程及其相互转换；点、平面及直线的关系.本章的难点是：点与平面的离差，平面划分空间问题；向量式方程的运用；灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点1.平面的方程在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：①空间的两条相交直线可以确定准一的平面，②垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线．通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程．(1)向量式方程：bvaurro(3.1)其中u,v为参数．在仿射坐标系下，oooozyxr,,，zyxr,,，222111,,,,,ZYXbZYXa将它们代人式(3．1)，可得到下述参数式方程．(2)参数式方程vZuZzzvYuYyyvXuXxxOOo212121(3.2)由于向量barro,,共面，可以得到下述混合积方程．(3)混合积方程：0),,(barro（3.3）将对应的向量的坐标代入式(3.3)中，可得到下述点位式方程．(4)点位式(或行列式)方程0222111ZYXZYXzzyyxxooo(3.4)将式(3．4)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程．(5)一般方程(或称为普遍式方程)0DCzByAx(3.5)这是一个三元一次方程．当D不等于零时，可以得到下述截距式方程．(6)裁距式方程1czbyax（3.6）为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下．在空间直角坐标系下．设平面上点Mo的径矢00000,,zyxrOM，平面上任意一点M的径矢zyxrOM,,以及平面的法向量CBAn,,，由于nMM0，所以通过0)(0rrn(3．7)可以得到平面的点法式方程．(7)点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA（3.8)格式(3.8)展开整理后，仍可以得到与式(3．5)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢．将取自原点O出发，垂直于平面的矢量指定为平面的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面．此时平面上任意点M的径矢zyxrOM,,与平面的单位法矢cos,cos,cos0n有下面的关系：prn0(3．9)其中p是非负的．是原点O到平面的距离．将式(39)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程．(8)法式方程0coscoscospzyx（3.10）将一般方程0DCzByAx转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子22211CBAn其中的正负号选取应满足0pD，即0D时，取与D异号，当D=0时，取与第一个变量的系数同号．例如，0A取0A(9)三点式方程0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx（3.11）这个方程可以看做与式(3．4)为同一类．2．平面与点的相关位置(1)点0M与平面间的离差prn0（3.12）其中0n为原点指平面的单位法矢矢,,00rOMp为原点O到平面的距离．式(3．12)也可以写成代数表达式pzyxcoscoscos000(3．13)原点)0,0,0(O与平面间的离差为p，反映出原点O、平面、及其单位法矢0n之间的关系．点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向．在平面同侧的点，的符号相同；对于在平面异仍的点，的符号相反；平面上的点，等于零．点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分．同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分．(2)点),,(0000zyxM与平面0DCzByAx间的距离为222000CBADCzByAxd（3.14）3.两平面的相关位置空间两平面0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA有以下的关系：（1）1与2相交222111::::CBACBA(2)1与2平行21212112DDCCBBAA(3)1与2重合21212112DDCCBBAA在空间直角坐标系下，两平面1与2间的交角是用两平面二面角的平面角1(，2)来表示，并且常取其中的锐角来表示．根据平面与其法矢垂直的关系，记),(21nn，可以得到222222212121212121212121cos),(cosCBACBACCBBAAnnnn(3.15)同时，两平面1与2垂直的充要条件是0212121CCBBAA4．空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线．读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量．因此，在空间取定坐标系，并设直线l上一定点Mo的径矢00000,,zyxrOM，直线l上任意点M的径矢为zyxr,,，直线l的方向向量v，可以得到直线l的向量式方程“（1）向量式方程vtrro(3.16)其中t为参数．（2）参数方程ZtzzYtyyXtxxOOo(3.17)由式(3.17)梢去参数t，可以得到直线l的对称式方程．(3)对称式方程(或称直线l的标准方程)ZzzYyyXxx000(3.18)在式(3．18)中，方向效ZYX,,是一组不全为零的数．如果其中有一个为零，例如0X．此时，可以设ZzzYyyxx000如果其中有两个数为零，例如0,0YX，此时．可以设00yyxx这样可以得到相对应的直线方程．通过空间两点),,(1111zyxM和),,(2222zyxM，可以得到直线的两点式方程．(4)两点式方程121121121zzzzyyyyxxxx（3.19）空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程．(5)直线的一般方程0022221111DzCyBxADzCyBxA(3.20)其中系数222111::::CBACBA。可以通过式(3.20)求出直线l的方向向量的三个方向数，即221122112211::::BABAACACCBCBZYX虽然直线l上点无穷多，但我们只需求出一个点),,(0000zyxM，当其中两个变量的系数所构造的二阶行列式不为零时，例如02211BABA．那么第三个变量就可以任意取定数值0zz(特别地可取0z)．这样做可以保证得到的二元一次方程组有唯一解，可以解出0xx，0yy，这时就解出直线l上一个点),,(0000zyxM．有了直线l上的点0M和方向矢量v，就可以得到直线l的向量式和参数式方程.直线的标淮方程也可以转化为直线的一般方程，由式(3.18)可以得到直线的射彤式方程．(6)射影式方程ZzzYyyYyyXxx0000（3.21）式(3．21)中的两个方程表示了两个过直线l的特殊平面，它们分别平行于坐标轴y轴和x轴．5．平面束(1)有轴平面束若两个平面0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA相交于一直线l，那么过直线l的所有平面的方程可以表示为0)(22221111DzCyBxADzCyBxA(3.22)为避免出现无穷的情况，也可以取nm，方程(3．22)可以写成n(0)()22221111DzCyBxAmDzCyBxA(323)这是一个单参数的平面族，称为有轴平面束，直线l为平面束的轴(中心轴)．只要一个定解条件就可以求出的值，或m：n的值．(2)平行平面束空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束，它们的方程可以表示为0CzByAx(3．24)其中A是实参数，系数A，B，C是已知的．(3．24)式也是一个单参数平面族．6．直线与平面的相关位置设直线l与平面的方程分别为l：ZzzYyyXxx000：0DCzByAx(1)直线l与平面有以下的关系：01l与相交0CZBYAX02l与平行00000DCzByAxCZBYAX03l在上00000DCzByAxCZBYAX(2)直线l与平面相交时，将直线l的方程改写为参数式ZtzzYtyyXtxxOOo并将其代人平面的方程中．解参数t的值：CZBYAXDCzByAxt000上式中分母0CZBYAX．将t值代回直线l的参数方程中就可以得到交点坐标．(3)在直角坐标系下．直线l与平面间的夹角可以由l的方向矢量v和平面的法矢n间的夹角来决定，即222222cossinZYXCBACZBYAXvnvn直线l与平面垂直ZCYBXA．7．空间两直线的相关位置设两直线1l与2l的方程分别为1111111:ZzzYyyXxxl2222222:ZzzYyyXxxl(1)空间两直线1l与2l有以下的位置关系：011l与2l异面0222111121212ZYXZYXzzyyxx021l与2l相交222111::::0ZYXZYX031l与2l平行)(:)(:)(::::0121212222111zzyyxxZYXZYX041l与2l重合)(:)(:)(::::0121212222111zzyyxxZYXZYX(2)空间两直线的夹角．空间两直线的夹角与它们的方向矢量之间的夹角有以下的关系：),(),(2121vvll或),(),(2121vvll通常取),(21ll为锐角．在直角坐标系下，空间两直线1l与2l的夹角余弦为222222212121212121212121),(cosZYXZYXZZYYXXvvvvll直线1l与2l垂直0212121ZZYYXX（3）两异面直线间的距离与公垂线方程．在直角坐标系下，两异面直线1l与2l之间的距离为21vvd两异面直线1l与2l的公垂线0l的方程为00222222111111ZYXZYXzyyxxZYXZYXzzyyxx其中x，y，Z是公垂线0l的方向数．8．空间一点到一直线的距离在空间直角坐标系下．设空间一点),,(0000zyxM和直线l：ZzzYyyXxx111的距离vMMvd01四、基本例题解题点击【例1】求空间