2018-2019学年广东省梅州市高二下学期期末考试数学(理)试题

梅州市高中期末考试试卷（2019.7）高二数学（理科）注意事项：本试卷共6页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。4.考生请保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷与答题卡一并收回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数z=1+2𝑖𝑖对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．用反证法证明命题“若a，b∈R，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根“时要做的假设是（）A．方程x2+ax+b＝0没有实根B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根3．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列{an}中，a1＝1，an=12（an﹣1+1𝑎𝑛−1），由此归纳出{an}的通项公式4．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）A．r1＝r2B．r1＜r2C．r1＞r2D．无法判定5．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.846．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=−13x3+81x﹣234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件7．设f（x）＝sinxcosx，则f（x）在点（𝜋6，f（𝜋6））处的切线的斜率为（）A．12B．√32C．−12D．−√328．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．16625B．96625C．192625D．2566259．（3x−1√𝑥23）7展开式中x﹣3的系数是（）A．7B．﹣7C．21D．﹣2110．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种11．已知m∈R，若函数f（x）=1𝑥+1−mx﹣m﹣3（﹣1＜x≤0）在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．（−94，﹣2）B．（−94，﹣2]C．（−114，﹣2）D．（−114，﹣2]12．设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集；其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a2+…+a7＝．14．现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是．（用数字作答）15．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．16．已知函数f（x）＝xlnx，且0＜x1＜x2，给出下列命题：①𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜1②x2f（x1）＜x1f（x2）③当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）④x1+f（x1）＜x2+f（x2）其中正确的命题序号是．三、解答题：本题共5小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-2题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（本题满分12分）设函数f（x）=12x2﹣ax+2lnx（a∈R）在x＝1时取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．18．（本题满分12分）在数列{an}中，a1＝1，an+1=𝑛+2𝑛an+1（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（本题满分12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：月份（x）12345y（万盒）44566（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂，根据表中数据已经正确计算出𝑏̂=0.6，试求出回归直线方程，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．（本题满分12分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在A市的普及情况，A市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如表：（单位：人）经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性5050100女性6040100合记11090200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X，求X的数学期望和方差．参考公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.250.150.100.05k01.3232.0722.7063.84121．（本题满分12分）已知函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题；共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，ρcos（θ−𝜋4）=√2．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：{𝑥=−√3+√32𝑡𝑦=12𝑡（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．（本题满分10分）已知函数f（x）＝|x+1|+|m﹣x|（其中m∈R）．（1）当m＝3时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）≥8对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．1.D．2.A．3.C．4.C．5.A．6.C．7.A．8.B．9.C．10.B．11.B．12.B．13.﹣2．14.72．15.2𝑒2．16.②③（一）必考题17．（1）f′（x）＝x﹣a+2𝑥，当x＝1时取得极值，则f′（1）＝0，即：1﹣a+2＝0，解得：a＝3，经检验，符合题意．（2）由（Ⅰ）得：f（x）=12x2﹣3x+2lnx，∴f′（x）＝x﹣3+2𝑥=(𝑥−1)(𝑥−2)𝑥，（x＞0），令f′（x）＞0解得：0＜x＜1或x＞2，令f′（x）＜0解得：1＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞）；单调递减区间为（1，2）．18．（1）∵a1＝1，an+1=𝑛+2𝑛an+1，∴a2＝3a1+1＝4，a3＝2a2+1＝9，𝑎4=53𝑎3+1=16，故a2，a3，a4的值分别为4，9，16；（2）由（1）猜想𝑎𝑛=𝑛2，用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a1＝1，猜想显然成立；②设n＝k时，猜想成立，即𝑎𝑘=𝑘2，则当n＝k+1时，ak+1=𝑘+2𝑘𝑎𝑘+1=𝑘2+2𝑘+1=（k+1）2，即当n＝k+1时猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即𝑎𝑛=𝑛2．19．（1）𝑥=15(1+2+3+4+5)=3，𝑦=15（4+4+5+6+6）＝5，因线性回归方程𝑦̂=𝑏̂x+𝑎̂过点（𝑥，𝑦），∴𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥=5﹣0.6×3＝3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：𝑦̂=0.6×6+3.2＝6.8．（2）ξ＝0，1，2，3，P（ξ＝0）=𝐶53𝐶93=542，P（ξ＝1）=𝐶41𝐶52𝐶93=1021，P（ξ＝2）=𝐶42𝐶51𝐶93=514，P（ξ＝3）=𝐶43𝐶93=121，其分布列为ξ0123P5421021514121所以Eξ=542×0+1021×1+514×2+121×3=43．20．（1）由列联表中的数据，可得K2=200(50×40−50×60)2110×90×100×100≈2.020＜2.072，故不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖情况与性别有关．（2）由2×2列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为110200=1120，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120，由题意得X～B（10，1120）．故随机变量X的期望E（X）＝10×1120=112，∴方差为D（X）=10×1120×920=9940．21．（1）因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，所以f′（x）＝2ax+1𝑥+1≤0对∀x∈[1，+∞）恒成立即a≤−12𝑥(𝑥+1)对∀x∈[1，+∞）恒成立，∴a≤−14．（2）因为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，设g（x）＝ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可由g′（x）＝2ax+1𝑥+1−1=𝑥[2𝑎𝑥+(2𝑎−1)]𝑥+1，①当a＝0时，g′（x）=−𝑥𝑥+1，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）＝0成立②当a＞0时，令g′（x）＝0，因为x≥0，所以解得：x=12𝑎−1，1）当12𝑎−1＜0，即a＞12时，在区间（0，+∞）上g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）在[0，+∞）上无最大值，不合题设．2）当12𝑎−1≥0时，即0＜a≤12时，在区间（0，12𝑎−1）上g′（x）＜0；在区间（12𝑎−1，+∞）上g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，12𝑎−1）上单调递减，在区间（12𝑎−1，+∞）单调递增，同样g（x）在[0，+∞）无最大值，不满足条件，③当a＜0时，由x≥0，故2ax+（2a﹣1）＜0，∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）单调递减，故g（x）≤g（0）＝0成立，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（二）选考题22．（Ⅰ）由C1，C2极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜋4)=√2’化为平面直角坐标系方程分为x2+（y﹣1）2＝1，x+y﹣2＝0．…（1分）得交点坐标为（0，2），（1，1）．…（