电磁场理论与微波技术-第4章-恒定磁场

第4章恒定磁场第4章恒定磁场4.1磁感应强度4.1.1安培力定律4.1.2磁感应强度4.2恒定磁场的基本方程4.2.1磁通连续性定理4.2.2安培环路定理4.3磁化强度磁介质中的安培环路定理4.4恒定磁场的边界条件4.5电感4.6恒定磁场的能量第4章恒定磁场图4-1回路C1、C2之间安培力4.1磁感应强度4.1.1安培(力)定律12211220)(4CCRRedlIdlIFReRR单位矢量：mH/10470真空磁导率：安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一线元dl2的作用力表示为。第4章恒定磁场31122012)(4RRdlIdlIdF31122012)(421RRdlIdlIFCC31202212124RRdlIudlIFCC第4章恒定磁场令CRRedlIB21104若电流不是线电流，而是具有体分布的电流J，则式改为dRerJrBR20)(4)(12))(4(211022CRCRedlIdlIF4.1.2磁感应强体电流面电流dSRerJrBsR20)(4)(第4章恒定磁场可以用上式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是洛仑兹力：BFqvBdlIFC222洛仑兹力：BIdldFBJddFBdSJdFs第4章恒定磁场例4.1求载流I的有限长直导线外任一点的磁场。第4章恒定磁场解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。CRRIdlrB30'4)(从对称关系能够看出磁场与坐标φ无关。不失一般性，将场点取在φ=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(0，0，z′)。secsec''sec',tan'','',22rRredzedlrdzrzzrrRezrzererzzzzr第4章恒定磁场22sec'])'([''rerdzeezzredzeRdlzrz所以)sin(sin4cos4'421002/2/3021rrIedrIeRRdlIBll第4章恒定磁场式中：222221)2/(2/sin)2/(2/sinlzzlzlzzlz对于无限长直导线(l→∞)，α1=π/2,α2=-π/2，其产生的磁场为rIeB20第4章恒定磁场4.2恒定磁场的基本方程4.2.1磁通连续性原理磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用Φ表示：sdSB如S是一个闭曲面，则SdSB第4章恒定磁场SCCSSRdSRIdldSRRIdldSB30304''4上式中，，故可将其改写为RRR13SSCdSRIdldSB14'0由矢量恒定式VSAdSAdV第4章恒定磁场则有dVRIdldVSC14'SB0而梯度场是无旋的，01R所以Sd0SB第4章恒定磁场使用散度定理，得到SVdVd0BSB由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有0B上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源(指散度源)场。第4章恒定磁场4.2.2安培环路定律图4.2-1环路定律第4章恒定磁场'30'30)'(4'4BCCdldlRRIdlRRdlIdl假设回路C′对P点的立体角为Ω，同时P点位移dl引起的立体角增量为dΩ，那么P点固定而回路C′位移dl所引起的立体角增量也为dΩ′。-dl×dl′是dl′位移-dl所形成的有向面积。注意到R=r-r′，这个立体角为。把其对回路C′积分，就得到P点对回路C′移动dl时所扫过的面积张的立体角，记其为dΩ，则以上的磁场环量可以表示为3)()'(RRdldld第4章恒定磁场CCdIdl4B0可以证明，当载流回路C′和积分回路C相交链时，有4Cd当载流回路C′和积分回路C不交链时，有0Cd这样当积分回路C和电流I相交链时，可得IdlC0BIdlCH第4章恒定磁场根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式：sCCdSJdSBdlB)(SSdSJdSB0)(因积分区域S是任意的，因而有JB0上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流，我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。JH第4章恒定磁场4.3磁化强度磁介质中的安培环路定理1.磁化强度:VmMV0lim式中m是分子磁矩，求和对体积元ΔV内的所有分子进行。磁化强度M的单位是A/m(安培/米)。nsmmeMJMJ第4章恒定磁场2.磁场强度：在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流Jm。磁化电流Jm和外加的电流J都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：dSJJIIdlBSmCm)()(00dlMIdlBCC00CIdlMB0第4章恒定磁场令MBH0其中H称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有CIdlH与上式相应的微分形式是JH第4章恒定磁场3.磁导率)(0MHBM与H间的关系为HMm式中χm是一个无量纲常数，称为磁化率。非线性磁介质的磁化率与磁场强度有关，非均匀介质的磁化率是空间位置的函数，各向异性介质的M和H的方向不在同一方向上。顺磁介质的χm为正，抗磁介质的χm为负。这两类介质的χm约为10-5量级。HHH)1()MH(B000rmx第4章恒定磁场式中，μr=1+χm，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；μ=μ0μr，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率χm的变化范围很大，可以达到106量级。第4章恒定磁场4.4恒定磁场的边界条件图4.4-1Bn的边界条件第4章恒定磁场设底面和顶面的面积均等于ΔS。将积分形式的磁通连续性原理(即∮SB·dS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋于零，得021SnBSnBnnBB12写成矢量形式为0)(12BBn第4章恒定磁场图4.4-2Ht的边界条件第4章恒定磁场将介质中积分形式的安培环路定律CSdSJdlH应用在这一回路，得SlldSJleHeH)(12若界面上的电流可以看成面电流，则leJdSJbSSleJlHHebSl)(12于是有第4章恒定磁场考虑到el°=eb×n,得bJHHneSb)()(12使用矢量恒等式ACBCBA)()(bSbeJeHHn)]([12SJHHn)(12第4章恒定磁场如果无面电流(JS=0)，这一边界条件变成为0)(12HHn用下标t表示切向分量，上式可以写成标量形式：ttHH12假设磁场B2与法向n的夹角为θ2,B1与n的夹角为θ1，则可写成：11221122coscossinsinBBHH第4章恒定磁场上式两式相除，并注意B2=μ2H2,B1=μ1H1,得2121tantan这表明，磁力线在分界面上通常要改变方向。若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时μ2«μ1,因而θ2«θ1，得B2«B1。假如μ1=1000μ0,μ2=μ0，在这种情况下，当θ=87°时，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。第4章恒定磁场4.5电感在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量Φ也是与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和。称总磁通为磁链，用Ψ表示。对于密绕线圈，可以近似认为各匝的磁通相等，从而有Ψ=NΦ。第4章恒定磁场一个回路的自感定义为回路的磁链和回路电流之比，用L表示，即IL自感的单位是H(亨利)。自感的大小决定于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率。图4.5-1互感第4章恒定磁场11212IM22121IM互感的单位与自感相同。同样，我们可以用载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链Ψ21与电流I2的比来定义互感M21，即互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率和回路的匝数。第4章恒定磁场例4.5-1求无限长平行双导线(如图所示)单位长外自感。图4.5-3平行双导线第4章恒定磁场解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为)(2200xdIxIB磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为aadnIBdxada10所以单位长外自感为aadnL10第4章恒定磁场4.5.2矢量磁位可以令AB称式中的A为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。式(3-40)仅仅规定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因为若B=▽×A，另一矢量A′=A+▽Ψ，其中Ψ是一个任意标量函数，则BAAA'0A第4章恒定磁场JA0使用矢量恒等式AAA2JA02上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即02AzzyyxxAeAeAeA2222第4章恒定磁场zzyyxxJAJAJA020202VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA444000第4章恒定磁场4.6恒定磁场的能量为简单起见，先计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所储存的磁场能量。假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最终，i1=I1,i2=I2。在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。我们知道，系统的总能量只与系统最终的状态有关，与建立状态的方式无关。为计算这个能量，先假定回路2的电流为零，求出回路1中的电流i1从零增加到I1时，电源作的功W1；其次，回路1中的电流I1不变，求出回路2中的电流从零增加到I2时，电源作的功W2。从而得出这一过程中，电源对整个回路系统作的总功Wm=W1+W2。第4章恒定磁场当保持回路2的电流i2=0时，回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1,周围空间的磁场将发生改变，回路1和2的磁通分别有增量dΨ11和dΨ12，相应地在两个回路中要产生感应电势E1=-dΨ11/dt和E2=-dΨ12/dt。感应电势的方向总是阻止电流增加。因而，为使回路1中的电流得到增量di1,必须在回路1中外加电压U1=-E1；为使回路2电流为零，也必须在回路2加上电压U2=-E2。所以在dt时间里，电源作功为111111111122111diiLdidtiEdtiUdtiUdtiUdW第4章恒定磁场在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为211011111211ILdiiLdWWI计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从零增到I2，电源作的功W2。若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-dΨ21/dt，回路2中的