二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式二次函数2(0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．分析：因为二次方程220xxm的根为二次函数22yxxm的图象与x轴交点横坐标。根据已知条件22yxxm，可知抛物线的对称轴为直线1x；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为3x，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220xxm的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。【例2】二次函数2(0yaxbxcaabc，，，是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：x1120121322523y2141742741142（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．（2）一元二次方程20(0axbxcaabc，，，是常数)的两个根12xx，的取值范围是下列选项中的哪一个．①12130222xx，②12151222xx，③12150222xx，④12131222xx，分析：本题以表格的形式给出二次函数2yaxbxc的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与1x等距离的x对应的函数值相等，所以直线1x是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当1x时，y随着x的增大而减小，当1x时，y随着x的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（2）一元二次方程20(0axbxcaabc，，，是常数)的根即为抛物线2yaxbxc与x轴交点的横坐标，观察表格发现：12与0之间一定有一个x的值，使2yaxbxc＝0；2与52之间一定有一个x的值，使2yaxbxc＝0，所以20axbxc的两根12xx，的取值范围是12150222xx，，故答案为③【例3】已知函数2yaxbxc的图象如图所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根分析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于x的方程220axbxc的根的情况，因为220axbxc可化为22axbxc，即22yaxbxc，所以，方程220axbxc的根即为抛物线与直线y＝－2的交点横坐标，作直线y＝－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。【例4】二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根．（2）写出不等式20axbxc的解集．（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．分析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。（1）方程20axbxc的根即抛物线2(0)yaxbxca与x轴交点的横坐标，观察图象得方程20axbxc的两根为11x，23x；（2）不等式20axbxc的解集即抛物线2(0)yaxbxca位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不等式20axbxc的解集为13x；（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为2x，结合图象得对称轴右边y随x的增大而减小，所以2x；（4）方程2axbxck的解为抛物线2(0)yaxbxca与直线yk的交点，所以当2k时，抛物线与直线有两个交点，即方程2axbxck有两个不相等的实数根的k的取值范围是2k。【例5】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．解：作出函数的图象．当1x时，min4y，当2x时，max5y．xy3322114112O【例6】当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x时，min1y，当2x时，max5y．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例7】当0x时，求函数(2)yxx的取值范围．解：作出函数2(2)2yxxxx在0x内的图象．可以看出：当1x时，min1y，无最大值．所以，当0x时，函数的取值范围是1y．【例8】当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522yxx的对称轴为1x．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即1t时：当xt时，2min1522ytt；(2)当对称轴在所给范围之间．即1101ttt时：当1x时，2min1511322y；(3)当对称轴在所给范围右侧．即110tt时：当1xt时，22min151(1)(1)3222yttt．综上所述：2213,023,0115,122ttytttt在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例9】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623,3054mxx．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(30)x元，那么m件的销售利润为(30)ymx，又1623mx．2(30)(1623)32524860,3054yxxxxx(2)由(1)知对称轴为42x，位于x的范围内，另抛物线开口向下当42x时，2max342252424860432y当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．课后自我检测A组1．抛物线2(4)23yxmxm，当m＝_____时，图象的顶点在y轴上；当m＝_____时，图象的顶点在x轴上；当m＝_____时，图象过原点．2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函数的最值：(1)2245yxx；(2)(1)(2)yxx．4．求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值．5．对于函数2243yxx，当0x时，求y的取值范围．6．求函数23532yxx的最大值和最小值．7．已知关于x的函数22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为0？8．若不等式02cbxx的解为－1x2，则＝_____，＝______9．当直线0byax在两点P(1,1),Q(2,1)之间通过时，求实数ba,满足的关系式_______10．二次方程22(1)20xaxa,有一个根比1大,另一个根比1小,则a的取值范围是11．已知函数2(0)yaxbxca的图象经过点(1,3)和(1,1)两点,若01c,则a的取值范围是12.若方程05)2(2mxmx只有正根，则m的取值范围是B组1．已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值．2．函数223yxx在0mx上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．3．设0a，当11x时，函数21yxaxb的最小值是4，最大值是0，求,ab的值．4．已知函数221yxax在12x上的最大值为4，求a的值．5．求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值(t为常数)．6．已知关于的不等式02txx对Rx恒成立，则的取值范围是______7.不等式2(2)2(2)40axax对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是8．一元二次不等式220axbx的解是1123x，则ab的值是课后自我检测参考答案A组1．414或2，322．2216lm3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．当34x时，min318y；当2x时，max19y．5．5y6．当56x时，min336y；当23x或1时，max3y．7．当54t时，min0y．略B组1．(1)当1x时，min1y；当5x时，max37y．(2)当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya．2．21m．3．2,2ab．4．14a或1a．5．当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x．略