全国高考平面向量专题突破

第1页（共32页）平面向量【考情上线】1.平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法1.向量：既有大小又有方向的量。向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxjyixa。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2.向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,ABa的模分别记作|AB|和||a。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。3.几类特殊向量（1）零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，零向量a＝0｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（2）单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1a。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a的单位向量为：||aaea彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作a∥b。规定：0与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（4）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作a。关于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②)(a=a；③()0aa；④若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。第2页（共32页）ababABC（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为ba。相等向量经过平移后总可以重合。二、向量的线性运算1.向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC。规定：aaa00；（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。②三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。（3）向量加法的运算律：①交换律：abba②结合律：()()abcaac2.法向量的减（1）定义：若axb则向量x叫做a与b的差，记为ba。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。（2）向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”①三角形法则：当,ab有共同起点时，ab表示为从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。②平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所示的对角线。设,ABaACb则a-b=ABACCB.3.实数与向量的积（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的。（2）数乘向量的运算律①()()aa；②()aaa；③()abab。三、向量共线定理1.定理：若a与b是两个非零向量，则ab共线有且只有一个实数，使得ba，即//(0)abbaa2.推论：若a与b是两个非零向量，则ab共线存在两个均不为零的实数、，使得0ab，3.应用：可以证明三点共线：ABACABC、、三点共线。第3页（共32页）四、平面向量的基本定理1.定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea。我们把不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2.注意：①要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，②当a用基底21,ee写成2211eea时，称之为向量的分解，③当若a与b是两个非零向量，则ab共线有且只有一个实数，使得12ee时，称2211eea为向量的正交分解。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。3.应用：①证明向量共面：若,ab不共线，则p与,ab共面的充要条件是存在有序实数对(,)xy，使pxayb②证明四点共面：若,MAMB不共线，存在实数对(,)xy使,,,MPxMAyMBMPAB四点共面，③证明三点共线：若,MAMB不共线，存在实数对(,)xy使1,,MPxMAyMBxyPAB且三点共线。五、平面向量的坐标表示与运算1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a的横坐标，y叫做作纵坐标。规定：①(1,0)i，(0,1)j②相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。③向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2.平面向量的坐标运算：①若1122(,),(,)axybxy，则1212,abxxyy；②若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy；③若a=(x,y)，则a=(x,y)；④若1122(,),(,)axybxy，则1221//0abxyxy；1212abxxyy⑤若1122(,),(,)axybxy，则1212,abxxyy六、线段的定比分点从标公式设直线l上有一条有向线段12PP和一个不同于12,PP的动点P，若12||||PPPP,即12(1)PPPP,则称点P为有向线段12PP的定比分点，且称P分有向线段成定比。铙誅卧第4页（共32页）泻噦圣骋贶頂廡。设111222(,),(,),(,)PxyPxyPxy，则12121(1)1xxxyyy若1，得到12PP中点坐标121222xxxyyy七、几个重要结论1.2222||||2(||||)ababab，22||||()()ababab2.若G为ABC的重心1231230(,)33xxxyyyGAGBGCG。【例题讲解】考点一：向量的基本概念例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。（1）若向量ab与同向，且||||ab，则ab；（2）若向量||||ab，则ab与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量||||ab，且ab与的方向相同，则ab；（4）由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行。（5）向量AB与向量CD是共线向量，则,,,ABCD四点在一条直线上；（6）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。解：（1）不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。（2）不正确，由||||ab只能判断两个向量长度相等，不能判断方向。（3）正确，因为||||ab，且方向相同，由两向量相等的条件可得ab（4）不正确，由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确。（5）不正确，若向量AB与向量CD是共线向量，则向量AB与CD所在的直线平行或重合，因此，,,,ABCD不一定共线。（6）正确，对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的。例2.判断下列各命题是否正确：（1）若||||ab，则ab；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5）若ab，bc，则ac；（6）若//ab，//bc，则//ac；（7）若四边形ABCD是平行四边形，则,ABDCBCDA解：（1）不正确，由||||ab只能判断两个向量长度相等，不能判断方向（2）不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求；（3）不正确，有向线段有三个要素：起点、终点及长度，向量有两个要素：大小与方向。有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；（4）正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则终点必重合；（5）正确，由向量相等定义可得（6）不正确，若0b，则对两个不共线的向量a与c，也有//0,0//ac，但//ac（7）不正确，贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。第5页（共32页）考点二：向量的基本运算例3.如图所示，已知,,,,,OAaOBbOCcODdOEeOFf，试用,,,,,abcdef表示：（1）ADAB;（2）ABCF;（3）BFBD.例4.如右图，以向量,OAaOBb为边作OADB,1,3BMBC13CNCD,用,ab表示,,OMONMN解：BAOAOBab，111666BMBAab1566OMOBBMab又ODab11112()32633ONOCCDODODODab221511336626MNONOMababab即有152211,,663326OMabONabMNab考点三：共线向量例5.设两个非零向量,ab不共线，（1）若ABab，28,3()BCabCDab，求证：,,ABD三点共线。（2）试确定实数k，使kab和akb共线。解：（1）证明：ABab，28,3()BCabCDab3()5()5BDBCCDababAB,ABBD共线。又它们有公共点B，,,ABD三点共线（2）kab与akb共线，存在实数，使得()kabakb即kabakb，()(1)kakb，,ab是不花线的两个非零向量，210,10kkk1k例6．设两个非零向量12,ee不共线.(1)如果121212,32,82ABeeBCeeCDee，求证：,,ACD三点共线；(2)如果121212,23,2ABeeBCeeCDeke，且,,ACD三点共线，求k的值。解：（1）证明：121212,32,82ABeeBCeeCDee1212114(82)22ACABBCeeeeCDAC与CD共线，又AC与CD有公共点C,,,ACD三点共线(2)121212()(23)32ACABBCeeeeee,,ACD三点共线,AC与CD共线，从而存在实数使得ACCD即121232(2)eeeke，