同构新天地-放缩大舞台

1在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如，若𝐹(𝑥)≥0能等价变形为𝑓[g(𝑥)]≥𝑓[ℎ(𝑥)]，然后利用𝑓(𝑥)的单调性，如递增，再转化为g(𝑥)≥ℎ(𝑥)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！1.地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移.（1）𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2𝑘(𝑥1𝑥2)⟺𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑘𝑥1−𝑘𝑥2⟺𝑓(𝑥1)−𝑘𝑥1𝑓(𝑥2)−𝑘𝑥2⟺𝑦=𝑓(𝑥)−𝑘𝑥为增函数.（2）𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2𝑘𝑥1𝑥2(𝑥1𝑥2)⟺𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑘(𝑥1−𝑥2)𝑥1𝑥2=𝑘𝑥2−𝑘𝑥1⟺𝑓(𝑥1)+𝑘𝑥1𝑓(𝑥2)+𝑘𝑥2⟺𝑦=𝑓(𝑥)+𝑘𝑥为减函数.含有地位同等的两个变量𝑥1,𝑥2，或𝑝,𝑞等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.2.指对跨阶想同构，同左同右取对数.同构基本模式：（1）积型：𝑎e𝑎≤𝑏ln𝑏三种同构方式→{同右:e𝑎lne𝑎≤𝑏ln𝑏−−−−−−−−−→𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥同左:𝑎e𝑎≤(ln𝑏)eln𝑏−−−−−−−−−→𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥取对：𝑎+ln𝑎≤ln𝑏+ln(ln𝑏)−−−−−→𝑓(𝑥)=𝑥+ln𝑥.如：2𝑥3ln𝑥≥𝑚e𝑚𝑥⟺𝑥2ln𝑥2≥𝑚𝑥e𝑚𝑥⟺𝑥2ln𝑥2≥𝑚𝑥e𝑚𝑥，后面的转化同（1）.说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．（2）商型：e𝑎𝑎𝑏ln𝑏三种同构方式→{同左:e𝑎𝑎eln𝑏ln𝑏−−−−−−−−−−−−−−→𝑓(𝑥)=e𝑥𝑥同右:e𝑎lne𝑎𝑏ln𝑏−−−−−−−−−−−−−→𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥取对：𝑎−ln𝑎ln𝑏−ln(ln𝑏)−−−−−−→𝑓(𝑥)=𝑥−ln𝑥.（3）和差型：e𝑎±𝑎𝑏±ln𝑏两种同构方式→{同左:e𝑎±𝑎eln𝑏±ln𝑏−−−−−→𝑓(𝑥)=e𝑥±𝑥同右:e𝑎±lne𝑎𝑏±ln𝑏−−−−−→𝑓(𝑥)=𝑥±ln𝑥.如：e𝑎𝑥+𝑎𝑥ln(𝑥+1)+𝑥+1⟺e𝑎𝑥+𝑎𝑥eln(𝑥+1)+ln(𝑥+1)⟺𝑎𝑥ln(𝑥+1).3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.（1）𝑎e𝑎𝑥ln𝑥同乘𝑥(无中生有)→𝑎𝑥e𝑎𝑥𝑥ln𝑥，后面的转化同2.（1）（2）e𝑥𝑎ln(𝑎𝑥−𝑎)−𝑎⟺1𝑎e𝑥ln𝑎(𝑥−1)−1⟺e𝑥−ln𝑎−ln𝑎ln(𝑥−1)−1同加𝑥(无中生有)→e𝑥−ln𝑎+𝑥−ln𝑎ln(𝑥−1)+𝑥−1=eln(𝑥−1)+ln(𝑥−1)⟺𝑥−ln𝑎ln(𝑥−1).（3）𝑎𝑥log𝑎𝑥⟺e𝑥ln𝑎ln𝑥ln𝑎⟺(𝑥ln𝑎)e𝑥ln𝑎𝑥ln𝑥，后面的转化同2.（1）.2说明：由于𝑎𝑥log𝑎𝑥两边互为反函数，所以还可以这样转化𝑎𝑥log𝑎𝑥⇒𝑎𝑥𝑥⇒ln𝑎ln𝑥𝑥.对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣.如：1𝑎e𝑥+1ln𝑎(𝑥−1)，左右两边互为反函数，所以只需1𝑎e𝑥+1𝑥，即1𝑎𝑥−1e𝑥，可得1𝑎1e2.4.同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）（1）e𝑥≥𝑥+1⇒e𝑥−1≥𝑥⇒e𝑥≥e𝑥⇒e𝑥≥e24𝑥2，e𝑥≥1+𝑥+𝑥22，e𝑥≤2+𝑥2−𝑥(0≤𝑥2)，e𝑥≥𝑎𝑥+1(𝑥≥0,0𝑎≤1).【变形：𝑥e𝑥=e𝑥+ln𝑥≥𝑥+ln𝑥+1，e𝑥𝑥=e𝑥−ln𝑥≥𝑥−ln𝑥+1；𝑥e𝑥=eln𝑥−𝑥≥ln𝑥−𝑥+1；𝑥2e𝑥=e𝑥+2ln𝑥≥𝑥+2ln𝑥+1，𝑥2e𝑥=e𝑥+2ln𝑥≥e(𝑥+2ln𝑥).】（2）ln𝑥≤𝑥−1⇒lne𝑥≤𝑥⇒ln𝑥≤𝑥e，ln𝑥≤𝑥−1⇒ln𝑥≤e𝑥−2，ln𝑥≥1−1𝑥⇒𝑥ln𝑥≥𝑥−1，ln𝑥≤12(𝑥−1𝑥)(𝑥≥1)，ln𝑥≥2(𝑥−1)𝑥+1(𝑥≥1)；ln𝑥≤𝑎(𝑥−1)(𝑥≥1,𝑎≥1)【变形：𝑥+ln𝑥=ln𝑥e𝑥，𝑥−ln𝑥=lne𝑥𝑥.】说明：𝑥e𝑥=e𝑥+ln𝑥，e𝑥𝑥=e𝑥−ln𝑥，𝑥e𝑥=eln𝑥−𝑥，𝑥+ln𝑥=ln𝑥e𝑥，𝑥−ln𝑥=lne𝑥𝑥等，这些变形新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的．对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利．当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。可以说掌握了这些变形新宠及常见切线型不等式，就大大降低了这类问题的难度．（会推广到关于𝑥与𝑎𝑥或log𝑎𝑥的各种组合的变形）．例1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．（1）log2𝑥−𝑘∙2𝑘𝑥≥0；解析：log2𝑥−𝑘∙2𝑘𝑥≥0⟺𝑥log2𝑥≥𝑘𝑥∙2𝑘𝑥⟺(log2𝑥)∙2log2𝑥≥𝑘𝑥∙2𝑘𝑥，𝑓(𝑥)=𝑥∙2𝑥.（2）e2𝜆𝑥−1𝜆ln√𝑥≥0；解析：e2𝜆𝑥−1𝜆ln√𝑥≥0⟺e2𝜆𝑥≥12𝜆ln𝑥⟺2𝜆𝑥e2𝜆𝑥≥𝑥ln𝑥⟺2𝜆𝑥e2𝜆𝑥≥(ln𝑥)eln𝑥，𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥.（3）𝑥2ln𝑥−𝑚e𝑚𝑥≥0；解析：𝑥2ln𝑥−𝑚e𝑚𝑥≥0⟺𝑥ln𝑥≥𝑚𝑥e𝑚𝑥⟺ln𝑥+ln(ln𝑥)≥𝑚𝑥+ln𝑚𝑥，𝑓(𝑥)=𝑥+ln𝑥.（4）𝑎(e𝑎𝑥+1)≥2(𝑥+1𝑥)ln𝑥；解析：𝑎(e𝑎𝑥+1)≥2(𝑥+1𝑥)ln𝑥⟺𝑎𝑥e𝑎𝑥+𝑎𝑥≥2𝑥2ln𝑥+2ln𝑥=𝑥2ln𝑥2+ln𝑥2⟺𝑎𝑥∙e𝑎𝑥+𝑎𝑥≥ln𝑥2∙eln𝑥2+ln𝑥2，𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥+𝑥.（5）𝑎ln(𝑥−1)+2(𝑥−1)≥𝑎𝑥+2e𝑥解析：𝑎ln(𝑥−1)+2(𝑥−1)≥𝑎𝑥+2e𝑥⟺𝑎ln(𝑥−1)+2(𝑥−1)≥𝑎lne𝑥+2e𝑥，𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+2𝑥（6）𝑥+𝑎ln𝑥+e−𝑥≥𝑥𝑎(𝑥1).解析：𝑥+𝑎ln𝑥+e−𝑥≥𝑥𝛼⟺𝑥+e−𝑥≥𝑥𝑎−ln𝑥𝑎⟺e−𝑥−lne−𝑥≥𝑥𝑎−ln𝑥𝑎，𝑓(𝑥)=𝑥−ln𝑥.3（7）e−𝑥−2𝑥−ln𝑥=0.解析：e−𝑥−2𝑥−ln𝑥=0⟺e−𝑥−𝑥=𝑥+ln𝑥⟺e−𝑥+lne−𝑥=𝑥+ln𝑥，𝑓(𝑥)=𝑥+ln𝑥.（8）𝑥2e𝑥+ln𝑥=0.解析：𝑥2e𝑥+ln𝑥=0⟺𝑥e𝑥=−ln𝑥𝑥⟺𝑥e𝑥=1𝑥ln1𝑥⟺e𝑥lne𝑥=1𝑥ln1𝑥，𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥.例2.已知不等式𝑎𝑥log𝑎𝑥(𝑎0,𝑎≠1)，对∀𝑥∈(0,+∞)恒成立，则𝑎的取值范围是_____.解析：𝑎𝑥log𝑎𝑥⟺e𝑥ln𝑎ln𝑥ln𝑎⟺(𝑥ln𝑎)e𝑥ln𝑎𝑥ln𝑥⟺{(𝑥ln𝑎)e𝑥ln𝑎(ln𝑥)eln𝑥→𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥⑴e𝑥ln𝑎lne𝑥ln𝑎𝑥ln𝑥→𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥⑵𝑥ln𝑎+ln(𝑥ln𝑎)ln𝑥+ln(ln𝑥)→𝑓(𝑥)=𝑥+ln𝑥⑶（三种模式，只需写一种）由（3）得，𝑥ln𝑎ln𝑥，即ln𝑎ln𝑥𝑥，由导数法可得ln𝑎1e，从而𝑎e1e．例3.若对任意𝑥0，恒有𝑎(e𝑎𝑥+1)≥2(𝑥+1𝑥)ln𝑥，则实数𝑎的最小值为_______.解析：𝑎(e𝑎𝑥+1)≥2(𝑥+1𝑥)ln𝑥⟺𝑎𝑥(e𝑎𝑥+1)≥(𝑥2+1)ln𝑥2⟺(e𝑎𝑥+1)lne𝑎𝑥≥(𝑥2+1)ln𝑥2，【积型同构】令𝑓(𝑥)=(𝑥+1)ln𝑥，则𝑓′(𝑥)=ln𝑥+𝑥+1𝑥，𝑓′′(𝑥)=1𝑥−1𝑥2=𝑥−1𝑥2，易知𝑓′(𝑥)在（0，1）上递减，在(1,+∞)上递增，所以𝑓′(𝑥)≥𝑓′(1)=20，所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)单调递增。则(e𝑎𝑥+1)lne𝑎𝑥≥(𝑥2+1)ln𝑥2⟺𝑓(e𝑎𝑥)≥𝑓(𝑥2)⟺e𝑎𝑥≥𝑥2⟺𝑎𝑥≥2ln𝑥⟺𝑎≥2ln𝑥𝑥，由导数法易证2ln𝑥𝑥≤2e，所以𝑎≥2e．故答案为答案：2e.例4.已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑎ln(𝑎𝑥−𝑎)+𝑎(𝑎0)，若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)0恒成立，则实数𝑎的取值范围是（）A.(0,e2]B.(0,e2)C.[1,e2]D.(1,e2)答案：B.解析：𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑎ln(𝑎𝑥−𝑎)+𝑎0⟺1𝑎e𝑥ln𝑎(𝑥−1)−1⟺e𝑥−ln𝑎−ln𝑎ln(𝑥−1)−1⟺e𝑥−ln𝑎+𝑥−ln𝑎eln(𝑥−1)+ln(𝑥−1)，【和差型同构】令g(𝑥)=e𝑥+𝑥，显然g(𝑥)为增函数.则原命题又等价于g(𝑥−ln𝑎)g(ln(𝑥−1))⟺𝑥−ln𝑎ln(𝑥−1)⟺ln𝑎𝑥−ln(𝑥−1).由于𝑥−ln(𝑥−1)≥𝑥−(𝑥−2)=2，所以ln𝑎2，即得0𝑎e2.例5.对任意𝑥0，不等式2𝑎e2𝑥−ln𝑥+ln𝑎≥0恒成立，则实数𝑎的最小值为_____.解析：2𝑎e2𝑥−ln𝑥+ln𝑎≥0⟺2𝑎e2𝑥≥ln𝑥𝑎⟺2𝑥e2𝑥≥𝑥𝑎ln𝑥𝑎(𝑥0)【积型同构】⟺2𝑥+ln2𝑥≥ln𝑥𝑎+ln(ln𝑥𝑎)(𝑥𝑎).由于𝑓(𝑥)=𝑥+ln𝑥为增函数，所以由𝑓(2𝑥)≥𝑓(ln𝑥𝑎)，得2𝑥≥ln𝑥𝑎，即𝑎≥𝑥e2𝑥恒成立．4令g(𝑥)=𝑥e2𝑥，则g′(𝑥)=1−2𝑥e2𝑥，易得g(𝑥)max=g(12)=12e，所以实数𝑎的最小值为12e.例6.已知函数𝑓(𝑥)=𝑚ln(𝑥+1)−3𝑥−3，若不等式𝑓(𝑥)𝑚𝑥−3e𝑥在(0,+∞)上恒成立，则实数𝑚的取值范围是（）A.0≤𝑚≤3B.𝑚≥3C.𝑚≤3D.𝑚≤0解析：𝑚ln(𝑥+1)−3(𝑥+1)𝑚𝑥−3e𝑥=𝑚lne𝑥−3e𝑥，【同构】令g(𝑥