5.5--二倍角与半角的余弦、正弦和正切

上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务15．5二倍角与半角的正弦、余弦和正切基本公式（S2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-2α-sin2α(C2α);tan(α+β)=)(tan1tan22tantantan1tantan22T因为1cossin22，所以公式)(2C可以变形为1cos22cos2或2sin212cos)(2C变形22cos1sin,22cos1cos22公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式．*积化和差公式的推导sin(+)+sin()=2sincossincos=21[sin(+)+sin()]sin(+)sin()=2cossincossin=21[sin(+)sin()]cos(+)+cos()=2coscoscoscos=21[cos(+)+cos()]cos(+)cos()=2sinsinsinsin=21[cos(+)cos()]*和差化积公式的推导若令+=，=φ，则2，2代入得：)sin(sin21)]22sin()22[sin(212cos2sin∴2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos半角公式cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sinsincos1cos1sin2tan上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务2证：1）.在2sin212cos中，以代2，2代即得：2sin21cos2∴2cos12sin22）.在1cos22cos2中，以代2，2代即得：12cos2cos2∴2cos12cos23）.以上结果相除得：cos1cos12tan24）.2tan2cos2sin2cos2sin2)2sin21(1sincos122tan2cos2sin12cos212cos2sin2cos1sin2万能公式2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin2222证：1）2tan12tan22cos2sin2cos2sin21sinsin2222）2tan12tan12cos2sin2sin2cos1coscos2222223）2tan12tan22sin2cos2cos2sin2cossintan222例1、不查表．求下列各式的值（１）15cos15sin；（２）8sin8cos22；（３）5.22tan15.22tan22；（４）75sin212．上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务3例２、不查表．求下列各式的值（１）)125cos125)(sin125cos125(sin（２）2sin2cos44（３）tan11tan11（４）2coscos212例３、若tan=3，求sin2cos2的值奎屯王新敞新疆例4、已知),2(,135sin，求sin2，cos2，tan2的值奎屯王新敞新疆例5、求证：)6(sin)3cos(cossin22的值是与无关的定值奎屯王新敞新疆例6、化简：sincos1sincos1sincos1sincos1——升幂上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务4【当堂训练】一、选择题1、已知cosα=－33,且tanα0，则sin2α的值等于（）A．322B．13C．－322D．－132、若,2,135sin，则2tan的值为（）A、119120B、119120C、120119D、1201193、已知sinα＋cosα=13，则sin2α=（）A．89B．－89C．±89D．3224、已知sin（x－π4）=35,则sin2x=（）A．825B．725C．1625D．－16255、若x=π12，则sin4x－cos4x的值为（）A．21B．21C．23D．236、10sin1（）A、5sin5cosB、5sin5cosC、5cos5sinD、5cos5sin7、若24,412sin，则sincos的值等于（）A、23B、43C、23D、438、52cos5cos的值等于（）A、41B、21C、2D、4二、填空题1、计算tanπ8－cotπ8=．2、求值：（cos210°－cos280°）2＋sin220°=．上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务53、已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝95，则sin2θ等于___________．4、函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于．三、解答题1、已知sin（π2－α）=35,求cos2α．2、已知：tanx=－22，求：xxx4sin21sin2cos22的值．3、已知：033cossin，求：2cos的值．4、已知：401354sinxx，求：xx4cos2cos的值．上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务6【家庭作业】1已知5cos3sincossin2，求3cos2+4sin2的值奎屯王新敞新疆2已知2，0，tan=31，tan=71，求2+3已知sincos=21，2，求2tan和tan的值4已知coscos=21，sinsin=31，求sin(+)的值5求证：sin3sin3+cos3cos3=cos326奎屯王新敞新疆已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0奎屯王新敞新疆求证：α＋2β＝27奎屯王新敞新疆求值：140cos40cos2)40cos21(40sin28.已知sin2α=135,4α2,求sin4α,cos4α,tan4α的值.上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务79.不查表,求值10.若22)4sin(2cosaa,则cosα+sinα的值为A.27B.21C.21D.2711.下列各式中,值为23的是()A.2sin15°-cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos212证明2cos2sin12cos2sin1=tanθ.13求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.14在△ABC中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.15化简：.4sin4cos14sin4cos1aaaa上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务816已知cosα=71,cos(α-β)=1413,且0βα2,(1)求tan2α的值;(2)求β.17.已知),2(,135sin，求sin2，cos2，tan2的值。18.化简（1）1sin40；（2）1cos20；（3）1sin40；（4）1cos20．19已知3sin25，且022，求22cossin122sin()4的值。20求证：（1）1sincos[sin()sin()]2；（2）sinsin2sincos22．上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务9参考答案：例1解:（１）15cos15sin=214130sin；（２）8sin8cos22＝224cos；（３）5.22tan15.22tan22＝145tan；（４）75sin212＝23150cos．例2解:（１）)125cos125)(sin125cos125(sin2365cos125cos125sin22（２）2sin2cos44cos)2sin2)(cos2sin2(cos2222（３）tan11tan112tantan1tan22（４）2coscos21221cos2cos2122例3解：sin2cos2=2222cossincossincossin257tan11tantan222例4解：∵),2(,135sin∴1312sin1cos2∴sin2=2sincos=169120cos2=169119sin212tan2=119120例5证：)3cos(cos)]23cos(1[21)2cos1(21原式—降次)sin3sincos3(coscos]2cos)23[cos(21)sincos23cos21)2cos2sin3sin2cos3(cos21241)2sin43)2cos1(412cos212sin232cos41∴)6(sin)3cos(cossin22的值与无关上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务10例6解：2cos2sin22cos22cos2sin22sin22cos2sin22sin22cos2sin22cos22222原式)2sin2(cos2cos2)2cos2(sin2sin2)2cos2(sin2sin2)2sin2(cos2cos2csc2sin2)sincos1sincos1()2tan2(cot【当堂训练】参考答案一、选择题CABBCDCA二、填空题1、2．2、1．3、322．4、43．三、解答题1、∵532sincos，∴2571cos22cos2．2、原