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最全的数列通项公式的求法-1-最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。◆一、直接法根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。例1.根据下列数列的前几项,说出数列的通项公式:1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0………◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n项和nS与na的关系,求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解.(注意:求完后一定要考虑合并通项)例2.①已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn.求数列na的通项公式.②已知数列na的前n项和nS满足21nSnn,求数列na的通项公式.③已知等比数列na的首项11a,公比10q,设数列nb的通项为21nnnaab,求数列nb的通项公式。③解析:由题意,321nnnaab,又na是等比数列,公比为q∴qaaaabbnnnnnn21321,故数列nb是等比数列,)1(211321qqqaqaaab,∴)1()1(1qqqqqbnnn◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律,然后正面证明。例3.(2002年北京春季高考)已知点的序列*),0,(NnxAnn,其中01x,)0(2aax,3A是线段21AA的中点,4A是线段32AA的中点,…,nA是线段12nnAA的中点,…(1)写出nx与21,nnxx之间的关系式(3n)。最全的数列通项公式的求法-2-(2)设nnnxxa1,计算321,,aaa,由此推测na的通项公式,并加以证明。(3)略解析:(1)∵nA是线段32nnAA的中点,∴)3(221nxxxnnn(2)aaxxa0121,2122322xxxxxa=axx21)(2112,3233432xxxxxa=axx41)(2123,猜想*)()21(1Nnaann,下面用数学归纳法证明01当n=1时,aa1显然成立;02假设n=k时命题成立,即*)()21(1Nkaakk则n=k+1时,kkkkkkxxxxxa21121=kkkaxx21)(211=aakk)21()21)(21(1∴当n=k+1时命题也成立,∴命题对任意*Nn都成立。变式:(2006,全国II,理,22,本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆◆四、累加(乘)法对于形如)(1nfaann型或形如nnanfa)(1型的数列,我们可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。例4.若在数列na中,31a,naann1,求通项na。解析:由naann1得naann1,所以11naann,221naann,…,112aa,将以上各式相加得:1)2()1(1nnaan,又31a最全的数列通项公式的求法-3-所以na=32)1(nn例5.在数列na中,11a,nnnaa21(*Nn),求通项na。解析:由已知nnnaa21,112nnnaa,2212nnnaa,…,212aa,又11a,所以na=1nnaa21nnaa…12aa1a=12n22n…12=2)1(2nn◆五、取倒(对)数法a、rnnpaa1这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1,再利用待定系数法求解b、数列有形如0),,(11nnnnaaaaf的关系,可在等式两边同乘以,11nnaa先求出.,1nnaa再求得c、)()()(1nhanganfannn解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann1。例6..设数列}{na满足,21a),N(31naaannn求.na解:原条件变形为.311nnnnaaaa两边同乘以,11nnaa得11131nnaa.∵113211,211)2113nnnnaaa(∴.13221nna例7、设正项数列na满足11a,212nnaa(n≥2).求数列na的通项公式.解:两边取对数得:122log21lognnaa,)1(log21log122nnaa,设1log2nanb,则12nnbbnb是以2为公比的等比数列,11log121b.11221nnnb,1221lognan,12log12nan,∴1212nna变式:1.已知数列{an}满足:a1=32,且an=n1n13nan2nN2an1--(,)+-(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1a2……an2n!2、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa,则求这个数列的通项公式。最全的数列通项公式的求法-4-3、已知数列{na}满足2,11na时,nnnnaaaa112,求通项公式。4、已知数列{an}满足:1,13111aaaannn,求数列{an}的通项公式。5、若数列{an}中,a1=1,a1n=22nnaan∈N,求通项an.◆六、迭代法迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算.例8、(2003·高考·广东)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n为正整数)证明对任意n≥1,an=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2na0证明:an=3n-1-2an-1=3n-1-2(3n-2-2an-2)=3n-1-2·3n-2+22(3n-3-2an-3)=3n-1-2·3n-2+22·3n-3-23(3n-4-2an-4)………………=3n-1-2·3n-2+22·3n–3-…+(-1)n-1·2n-1+(-1)n·2na0(-1)n·2na0前面的n项组成首项为3n-1,公比为-的等比数列,这n项的和为:=[3n+(-1)n-1·2n]∴an=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2na0◆七、待定系数法:求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数,可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地,形如a1n=pan+q(p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:设a1n+k=p(an+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=1pq,从而得等比数列{an+k}。例9、数列{an}满足a1=1,an=21a1n+1(n≥2),求数列{an}的通项公式。解:由an=21a1n+1(n≥2)得an-2=21(a1n-2),而a1-2=1-2=-1,∴数列{an-2}是以21为公比,-1为首项的等比数列∴an-2=-(21)1n∴an=2-(21)1n说明:通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{an-2},从而达到解决问题的目的。最全的数列通项公式的求法-5-练习、1数列{an}满足a1=1,0731nnaa,求数列{an}的通项公式。解:由0731nnaa得37311nnaa设a)(311kaknn,比较系数得373kk解得47k∴{47na}是以31为公比,以43471471a为首项的等比数列∴1)31(4347nna1)31(4347nna2、已知数列na满足11a,且132nnaa,求na.解:设)(31tatann,则1231ttaann,)1(311nnaa1na是以)1(1a为首项,以3为公比的等比数列111323)1(1nnnaa1321nna点评:求递推式形如qpaann1(p、q为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11pqappqann来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型.2、递推式为11nnnqpaa(p、q为常数)时,可同除1nq,得111nnnnqaqpqa,令nnnqab从而化归为qpaann1(p、q为常数)型.、例10.已知数列na满足11a,123nnnaa)2(n,求na.解:将123nnnaa两边同除n3,得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3,则1321nnbb.令)(321tbtbnntbbnn313213t.条件可化成)3(3231nnbb,数列3nb是以3833311ab为首项,32为公比的等比数列.1)32(383nnb.因nnnab3,)3)32(38(331nnnnnba2123nnna.3、形如banpaann1)001(,a、p解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令)()1(1yxnapynxann,与已知递推式比较,解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。例11:设数列na:)2(,123,411nnaaann,求na.解:令1(1)3()nnaxnyaxny化简得:1322nnaaxnyx最全的数列通项公式的求法-6-所以2221xyx解得10xy,所以1(1)3()nnanan又因为115a,所以数列nan是以5为首项,3为公比的等比数列。从而可得1153,53-nnnnanan所以变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分)已知数列{na}中,11122nnanaa、点(、)在直线y=x上,其中n=1,2,3…新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆(Ⅰ)令是等比数列;求证数列nnnnbaab,31(Ⅱ)求数列的通项;na4、形如21nnapaanbnc)001(,a、p解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令221(1)(1)()nnaxnyncpaxnync,与已知递推式比较,解出yx,,z.从而转化为2naxnync是公比为p的等比数列
本文标题:史上最全的数列通项公式的求法15种
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