函数的单调性与最值(讲义)

1函数的单调性与最值【知识要点】1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．（3）判断函数单调性的方法①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值求函数最值的方法：①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值；③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。【复习回顾】一次函数(0)ykxbk具有下列性质：(1)当0k时，函数y随x的增大而增大(2)当0k时，函数y随x的增大而减小二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：(1)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上，对称轴为直线x＝－2ba；当x＜2ba时，2y随着x的增大而减小；当x＞2ba时，y随着x的增大而增大；(2)当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下，对称轴为直线x＝－2ba；当x＜2ba时，y随着x的增大而增大；当x＞2ba时，y随着x的增大而减小；提出问题:①如图所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.简称为：步调一致增函数.几何意义：增函数的从左向右看,图象是的。④定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.几何意义：减函数的从左向右看,图象是的.例如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【典例精讲】题型一函数单调性的判定与证明(1)单调性的证明①函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；xyyxo3第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)；第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论．其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式．②利用单调性定义的等价形式证明：设x1，x2[m，n]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0f(x1)－f(x2)x1－x2＞0f(x)在区间[m，n]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0f(x1)－f(x2)x1－x2＜0f(x)在区间[m，n]上是减函数．(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性：g(x)f(x)f(g(x))增增增增减减减增减减减增复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内层函数g(x)与外层函数f(x)的单调性相同时y＝f(g(x))是增函数，单调性相反时y＝f(g(x))是减函数．(3)判断复合函数单调性的步骤：以复合函数y＝f(g(x))为例．可按下列步骤操作：①将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(t)，t＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若为一增一减，则y＝f(g(x))为减函数．例1用定义法求证函数3()fxx在R为增函数变式1用定义法求证函数()21fxx在(0,)增函数变式2证明：函数2()1fxxx在定义域上是减函数例2求函数y＝x2＋x－6的单调区间．题型二图像法求函数的单调区间4例3求出下列函数的单调区间：（1）2()3fxxx；（2）1()fxxx.（3）34)(2xxxf；（4）34)(2xxxf.变式1用图像法求下列函数的单调区间(1)32()2xfxx(2)2()|2|fxxx(3)2()2||1fxxx变式2求函数532xxy的单调区间和值域。题型三抽象函数的单调性例4(1)已知函数()fx是减函数，则2(1)fxx与3()4f的大小关系是(2)已知函数()fx是减函数，解不等式(21)(2)fxfx(3)已知()fx是定义在(0,+∞)上的减函数，若22(21)(341)faafaa成立，则a的取值范围是______.变式函数f(x)对任意的a,bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1.5(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3.题型四已知函数的单调性求参数的取值范围例5已知函数21,2(),2axxfxxx在R上是增函数，则a的取值范围是变式1若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a的取值范围是_______．变式2(1)画出已知函数2()23fxxx的图象；(2)证明函数2()23fxxx在区间(-∞,1］上是增函数；(3)当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.题型五函数的最值例6①如图所示，是函数2221,1,)()yxxyxxyfx、［、的图象.观察这三个图象的共同特征.②在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图所示，x的范围是函数的,y的范围是函数的。图1-3-1-12③怎样理解函数图象最高点的?设点C的坐标为(x0,y0)，用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？④函数最大值的定义？6一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.⑤函数最大值的定义中()fxM即0()()fxfx，这个不等式反映了函数y()fx的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？⑥函数21,(1,)yxx最大值吗？为什么？点(1,3)是不是函数21,(1,)yxx的最高点？⑦由⑥这个问题你发现了什么值得注意的地方？⑧类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.例7求函数y=12x在区间26［，］上的最大值和最小值.例8求函数xxy4,]3,21[x的最值。变式函数y=11x在［2,3］上的最小值为()A.2B.12C.13D.-12【课堂练习】1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=xC.y=x2-4x+5D.y=2x2．如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，则实数a的取值范围是()A.［-3,+∞)B.(-∞,-3］C.(-∞,3］D.［3,+∞)3.若一次函数y=f(x)在区间［-1,2］上的最小值为1，最大值为3，则函数f(x)的解析式为__________.4.设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；③fx1－fx2x1－x20；④fx1－fx2x1－x20.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)75.(1)已知函数2()42fxxax在[3,)上是增函数，则a的取值范围是(2)已知函数2()42fxxax在[3,3)上是单调函数，则a的取值范围是6.用定义法求证函数21()2fxxx在(0,)减函数【课外作业】1．函数y＝－x2的单调减区间是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于()A．－4B．－8C．8D．无法确定3．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)4．已知()fx为R上的减函数，则满足1(1)ffx的实数x的取值范围是（）Ａ．(1)，Ｂ．(1)，Ｃ．(0)(01)，，Ｄ．(0)(1)，，5.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．6.已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＜f(1－3x)，求x的取值范围．7.若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.(1)求b与c的值；(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．(3)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围.