必修一第二章----2.4.2函数与方程之二分法

2．4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课时目标1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的__________，并且在它的两个端点处的________，即__________，则这个函数在这个区间上，________________，即存在一点__________，使__________．2．变号零点与不变号零点(1)如果函数图象通过零点时__________，则称这样的零点为变号零点．(2)如果函数图象通过零点时__________，则称这样的零点为不变号零点．3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到__________的方法叫做二分法．4．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点____；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2007)0，f(2008)0，f(2009)0，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点B．函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点C．函数f(x)在(2008,2009)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内()A．(0.6,1.0)B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2)D．(2.6,3.0)6．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]题号123456答案二、填空题7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)x123456f(x)136.12315.542－3.93010.678－50.667－305.6788.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题10．用二分法求出方程x2－2x－1＝0的一个正实根(精确到0.1)．11．用二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根．(精确到0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为()A．0B．1C．3D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为12n.3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|ε为止．2．4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法知识梳理1．图象不间断函数值异号f(a)f(b)0至少有一个零点x0∈(a，b)f(x0)＝02.(1)穿过x轴(2)没有穿过x轴3．零点近似值4.(2)c作业设计1．B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．A[由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]3．D4．B[∵f(1)·f(1.5)0，x1＝1＋1.52＝1.25.又∵f(1.25)0，∴f(1.25)·f(1.5)0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C[设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.040，f(0.6)0，f(1.0)0，f(1.4)0，f(1.8)0，f(2.2)0，f(2.6)0，f(3.0)0，f(3.4)0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]6．A[由于f(－2)＝－30，f(1)＝60，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]7．③④⑤8．[2,2.5]解析令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－10，f(3)＝160，f(2.5)＝15.625－10＝5.6250.∵f(2)·f(2.5)0，∴下一个有根的区间为[2,2.5]．9．0.75或0.6875解析因为|0.75－0.6875|＝0.06250.1，所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．10．解(1)设f(x)＝x2－2x－1，∵f(2)＝－10，f(3)＝20，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1.又f(2)0，f(2.5)0⇒x1∈(2,2.5)，f(2.25)0，f(2.5)0⇒x1∈(2.25,2.5)，f(2.375)0，f(2.5)0⇒x1∈(2.375,2.5)，f(2.375)0，f(2.4375)0⇒x1∈(2.375，2.4375)，∵2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，∴此方程的近似解为x1≈2.4.11．解令f(x)＝x3－x－1，f(1.0)＝－10，f(1.5)＝0.8750.用二分法逐项计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(1.0,1.5)1.25－0.297(1.25,1.5)1.3750.225(1.25,1.375)1.3125－0.052(1.3125,1.375)1.343750.083∵区间(1.3125,1.34375)的左右端点精确到0.1时的近似值为1.3，∴方程x3－x－1＝0的近似解为1.3.12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．