理数二轮-极坐标与参数方程专项分层训练21

1二轮教案数学·理专项分层训练(二十一)坐标系与参数方程A级基础演练1．已知直线l的参数方程是x＝22ty＝22t＋42(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋π4。(1)求圆心C的直角坐标；(2)试判断直线l与圆C的位置关系。解：(1)因为ρ＝2cosθ－2sinθ，所以ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即x－222＋y＋222＝1，所以圆心C的直角坐标为22，－22。(2)因为直线l的普通方程为x－y＋42＝0，圆C的半径R＝1，圆心C到直线l的距离d＝22＋22＋422＝5，所以dR。所以直线l与圆C相离。2．已知曲线C的极坐标方程是ρ2－4ρcosθ＋2＝0。(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线ρsinθ＋π4＝22相交于A，B两点，求AB的中点的直角坐标。解：(1)由ρ2－4ρcosθ＋2＝0⇒x2＋y2－4x＋2＝0⇒(x－2)2＋y2＝2，所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝2。2二轮教案数学·理(2)ρsinθ＋π4＝22⇒ρsinθcosπ4＋ρcosθsinπ4＝22⇒x＋y＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x2＋y2－4x＋2＝0，x＋y＝1⇒2x2－6x＋3＝0⇒x1＋x2＝3，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－(x1＋x2)＝2－3＝－1，所以AB的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22，即32，－12。3．已知点P的极坐标为2，π2，曲线C的极坐标方程为ρ＝－4cosθ，过点P的直线l交曲线C于M，N两点。(1)若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求|PM|＋|PN|的最大值及相应的α值。解：(1)由题意可知点P在直角坐标系下的坐标为P(0,2)，所以直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝tsinα＋2(t为参数)，由ρ＝－4cosθ，得ρ2＝－4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋4x＝0。(2)将x＝tcosα，y＝tsinα＋2(t为参数)代入x2＋y2＋4x＝0，得t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，因为方程的两根t1，t2满足t1t2＝40，且Δ＝42(sinα＋cosα)2－4×40，即α∈0，π2，所以|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4|sinα＋cosα|＝42sinα＋π4，α∈0，π2，3二轮教案数学·理所以当α＝π4时，|PM|＋|PN|取得最大值，且最大值为42。4．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位。已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为x＝－1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，α为直线的倾斜角)。(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小。解：(1)当α＝π2时，直线l的普通方程为x＝－1；当α≠π2时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tanα。由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x。(2)将x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0。由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝34，所以cosα＝32或cosα＝－32，故直线l的倾斜角α为π6或5π6。B级能力升级1．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25。(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，4二轮教案数学·理|AB|＝10，求l的斜率。解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0。(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)。设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0。于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11。|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44。由|AB|＝10，得cos2α＝38，tanα＝±153。所以l的斜率为153或－153。2．(2016·河南三市3月联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2sinα(α为参数)，曲线C2的参数方程为x＝2cosβ，y＝2＋2sinβ(β为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线l1：θ＝α0＜α＜π2，将射线l1顺时针旋转π6得到射线l2：θ＝α－π6，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|·|OQ|的最大值。解：(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，所以C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ。(2)设点P的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cosα，点Q的极坐标为ρ2，α－π6，即ρ2＝4sinα－π6。5二轮教案数学·理则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sinα－π6＝16cosα·32sinα－12cosα＝8sin2α－π6－4。∵α∈0，π2，∴2α－π6∈－π6，5π6。当2α－π6＝π2，即α＝π3时，|OP|·|OQ|取得最大值为4。