高中数学集合习题及详解

高中数学集合习题及详解一、选择题1．(09·全国Ⅱ)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝()A．{5,7}B．{2,4}C．{2,4,8}D．{1,3,5,6,7}[答案]C[解析]M∪N＝{1,3,5,6,7}，∴∁U(M∪N)＝{2,4,8}，故选C.2．(2010·烟台二中)已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)}B．{0,1}C．[0，＋∞)D．[0,1][答案]C[解析]M＝{y|y≥0}，N＝R，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.[点评]本题极易出现的错误是：误以为M∩N中的元素是两抛物线y2＝x与y＝x2的交点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N的代表元素是什么以确定集合M∩N中元素的属性．若代表元素为(x，y)，则应选A.3．设集合P＝{x|x＝k3＋16，k∈Z}，Q＝{x|x＝k6＋13，k∈Z}，则()A．P＝QB．P⊆QC．P⊇QD．P∩Q＝∅[答案]B[解析]P：x＝k3＋16＝2k＋16，k∈Z；Q：x＝k6＋13＝k＋26，k∈Z，从而P表示16的奇数倍数组成的集合，而Q表示16的所有整数倍数组成的集合，故P⊆Q.选B.[点评]函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域．如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论．4．(文)满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．(理)(2010·湖北理，2)设集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．1[答案]A[解析]结合椭圆x24＋y216＝1的图形及指数函数y＝3x的图象可知，共有两个交点，故A∩B的子集的个数为4.5．(2010·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}[答案]D[解析]由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则∁UB中无7(或5)，即B中有7(或5)，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.6．(文)(2010·合肥市)集合M＝{x|x2－1＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋2＝0}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－1,1}B．{－1}C．{1}D．∅[答案]B[解析]∵M＝{1，－1}，N＝{1,2}，∴M∩N＝{1}，故阴影部分表示的集合为{－1}．(理)(2010·山东省实验中学)如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(∁IA∩B)∩CB．(∁IB∪A)∩CC．(A∩B)∩∁ICD．(A∩∁IB)∩C[答案]D[解析]阴影部分在A中，在C中，不在B中，故在∁IB中，因此是A、C、∁IB的交集，故选D.[点评]解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合中，注意不在集合M中时，必在集合M的补集中．7．已知钝角△ABC的最长边长为2，其余两边长为a，b，则集合P＝{(x，y)|x＝a，y＝b}所表示的平面图形的面积是()A．2B．4C．π－2D．4π－2[答案]C[解析]由题中三角形为钝角三角形可得①a2＋b222；②a＋b2；③0a2,0b2，于是集合P中的点组成由条件①②③构成的图形，如图所示，则其面积为S＝π×224－12×2×2＝π－2，故选C.8．(文)(2010·山东滨州)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cosx，x∈A}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{0,1}D．{－1,0,1}[答案]B[解析]∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B＝{1，cos1}，∴A∩B＝{1}．(理)P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝()A．{(1，－2)}B．{(－13，－23)}C．{(1，－2)}D．{(－23，－13)}[答案]B[解析]α＝(m－1,2m＋1)，β＝(2n＋1,3n－2)，令a＝β，得m－1＝2n＋12m＋1＝3n－2∴m＝－12n＝－7∴P∩Q＝{(－13，－23)}．9．若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x、y∈M}，则N中元素的个数为()A．9B．6C．4D．2[答案]C[解析]N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}，按x、y∈M，逐个验证得出N.10．(文)已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集．若n∈A时，总有2n＋2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为()A．62B．66C．68D．74[答案]B[解析]若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时A∪B已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于A∩B＝∅，∴4,6,8∉A，此时A∪B中将增加14个元素，∴A∪B中元素个数最多有52＋14＝66个．(理)设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集．若对任意a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集[答案]C[解析]A：自然数集对减法，除法运算不封闭，如1－2＝－1∉N,1÷2＝12∉N.B：整数集对除法运算不封闭，如1÷2＝12∉Z.C：有理数集对四则运算是封闭的．D：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭．如(2＋1)＋(1－2)＝2，2－2＝0，2×2＝2，2÷2＝1，其运算结果都不属于无理数集．二、填空题11．(文)已知集合A＝{x|log12x≥3}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.[答案]0[解析]A＝{x|0x≤18}，∵A⊆B，∴a≤0，∴c＝0.(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案]2[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.12．(2010·浙江萧山中学)在集合M＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x∈A，则1x∈A”的概率是________．[答案]331[解析]集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x∈A，则1x∈A”的集合A中的元素为1,2或12，且12，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，12，2}．因此，所求的概率为331.13．(文)(2010·江苏，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.[答案]1[解析]∵A∩B＝{3}，∴3∈B，∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.(理)A＝{(x，y)|x2＝y2}B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝________.[答案]{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析]A∩B＝x，yx2＝y2x＝y2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．14．若A＝{x|22x－1≤14}，B＝{x|log116x≥12}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.[答案]{x|0x≤14}[解析]由22x－1≤14得，x≤－12，由log116x≥12得，0x≤14，∴(∁RA)∩B＝{x|x－12}∩{x|0x≤14}＝{x|0x≤14}．三、解答题15．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．[解析](1)A＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，∴4＋4(a＋1)＋(a2－5)＝0，∴a＝－1或－3.(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)＝0得，a＝－3.当a＝－3时，B＝{2}，符合题意；当a－3时，Δ0，B＝∅，满足题意；当a－3时，∵B⊆A，∴B＝A，故2a＋1＝－3a2－5＝2，无解．综上知，a≤－3.16．(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－60}，B＝{x|x2＋2x－80}，C＝{x|x2－4ax＋3a20}，若∁U(A∪B)⊆C，求实数a的取值范围．[解析]A＝{x|－2x3}，B＝{x|x－4，或x2}，A∪B＝{x|x－4，或x－2}，∁U(A∪B)＝{x|－4≤x≤－2}，而C＝{x|(x－a)(x－3a)0}(1)当a0时，C＝{x|ax3a}，显然不成立．(2)当a＝0时，C＝∅，不成立．(3)当a0时，C＝{x|3axa}，要使∁U(A∪B)⊆C，只需3a－4a－2，即－2a－43.综上知实数a的取值范围是－2，－43.17．(文)设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．[解析]假设A∩B≠∅，则方程组y＝2x－1y＝ax2－ax＋a有正整数解，消去y得，ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，解得－233≤a≤233.因a为非零整数，∴a＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠∅，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．(理)(2010·厦门三中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且(a－1)Sn＝a(an－1)(a0，n∈N*)．(1)求证数列{an}是等比数列，并求an；(2)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N*，都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．[解析](1)①当n＝1时，∵(a－1)S1＝a(a1－1)，∴a1＝a(a0)②当n≥2时，由(a－1)Sn＝a(an－1)(a0)得，(a－1)Sn－1＝a(an－1－1)∴(a－1)an＝a(an－an－1)，变形得：anan－1＝a(n≥2)，故{an}是以a1＝a为首项，公比为a的等比数列，∴an＝an.(2)①当a≥1时，A＝{x|1≤x≤a}，S2＝a＋a2a，∴S2∉A，即当a≥1时，不存在满足条件的实数a.②0a1时，A＝{x|a≤x≤1}∵Sn＝a＋a2＋…＋an＝a1－a(1－an)，∴Sn∈[a，a1－a)，因此对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需0a1a1－a≤1，解得0a≤12，综上得实数a的取值范围是(0，12]．