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1《等比数列与不等式》知识要点一.数列的概念与简单表示法.(1)数列是定义域为(或它的有限子集{1,2,…,n})的特殊函数,(2)数列的表示方法:解析法(通项公式法);列表法;图象法;递推法(递推公式法).(3)an与Sn的关系式:an=二.等差数列(1)定义:.(2)公差为d的等差数列{an}的通项公式:,等差数列中任意两项的关系:.即:d=(3)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,可表示成.(4)前n项和公式Sn==.(5)等差数列的判断:定义法:等差中项法:通项公式法:形如求和公式法:形如(6)等差数列的性质①若公差,则{an}是递增等差数列;若公差,则{an}是递减等差数列;2若,则{an}是常数列.②若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则.若m+n=2p(m,n,p∈N*),则③若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,,…仍成等差数列,公差(7)若{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项的和,Tn是{|an|}的前n项的和,若0na是正负项的分界项,它与1a的符号一致。前正后负:Tn=;前负后正:Tn=(8)等差数列前n项和的最值①等差数列{an}中,a10,d0时,Sn有;a1,d,Sn有最小值.②最值的求法配方或求二次函数最值的方法:等差数列{an}前n项和公式Sn=na1+nn-12d=d2n2+(a1-d2)n=An2+Bn,可通过求得.邻项变号法:.当a10,d0时,满足的n,使Sn取最大值;当a10,d0时,满足的n,使Sn取最小值.三.等比数列(1)定义:(q为常数,且q≠0).3(2)公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式:,等比数列中任意两项的关系:.(3)等比中项:若a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,可以表示成.(4)前n项和公式Sn=(5)等比数列的判断:定义法:等差中项法:通项公式法:形如求和公式法:形如Sn=(6)等比数列的性质①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则;若m+n=2(m,n,p∈N*),则;②若{an}是等比数列,则Sn,,,…仍成等比数列(当Sn≠0时),且公比为(q≠-1).③如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列1an,{kan}(k∈R,且k≠0),{an·bn},bnan,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为,,,,.(7)在等比数列{an}中,若q0,则{an}中的项;若q0,则{an}中的项的符号(8)在等比数列{an}中,q=1时,{an}是。四.常见数列的求和(1)公式法:数列,数列的求和用公4式(2)分组求和法:适当分组,可拆分成两个或两个以上的或数列求和问题(3)裂项法:通项公式是分式的形式如:①1()nnk=②若数列{an}是公差为d的等差数列,则11nnaa=③11nn=(4)错位相减法:一般地,若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项的和时,可用错位相减法。注意:①识别题型:;②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;四,不等式1.比较大小的依据:ab;a=b;ab.52.不等式的性质(1)对称性:ab;(2)传递性:ab,bc,;(3)可加性:a+cb+c.ab,cd,(5)可乘性:ab,,acbc;ab,,acbc.,acbd.(7)可乘方:ab,anbn(n∈N*,n≥2).(8)可开方:ab,nanb(n∈N*,n≥2).3.一元二次不等式的解集Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)五.二元一次不等式1,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域,其作法分两步:6①定界:画直线Ax+By+C=0确定边界.不包含边界,含边界②定域:法一确定区域;法二由的符号与决定:,。2,线性规划问题:截距型:z=axby;b0时上移,下移;b0时上移,下移。斜率型:z=ybxa;表示。距离型:z=22()()xayb;表示。三,基本不等式1.两个正数的基本不等式:ab≤;变式:2.利用基本不等式求最值:若a,b∈R+,a+b=S,ab=P,则:如果P是定值,那么当a=b时,S的值最小为;如果S是定值,那么当a=b时,P的值最大为.求最值的必要条件:、、.3.双勾函数:,0ayxax《等比数列与不等式》知识要点一.数列的概念与简单表示法.(1)数列是定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})7的特殊函数,(2)数列的表示方法:解析法(通项公式法);列表法;图象法;递推法(递推公式法).(3)an与Sn的关系式:an=S1,(n=1)Sn-Sn-1,(n≥2,n∈N*)二.等差数列(1)定义:an+1-an=d(常数).(2)公差为d的等差数列{an}的通项公式:an=a1+(n-1)d,等差数列中任意两项的关系:an=am+(n-m)d.即:d=am-anm-n(3)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,可表示成A=a+b2.(4)前n项和公式Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.(5)等差数列的判断:定义法:an+1-an=d(常数)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)通项公式法:形如an=kn+b求和公式法:形如Sn=An2+Bn(6)等差数列的性质①若公差d0,则{an}是递增等差数列;若d0,则{an}是递减等差数列;若d=0,则{an}是常数列.②若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap③若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列,公差n2d.8(7)若{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项的和,Tn是{|an|}的前n项的和,若0na是正负项的分界项,它与1a的符号一致。前正后负:Tn=000............2...nnSnnSSnn;前负后正:Tn=000............2...nnSnnSSnn(8)等差数列前n项和的最值①在等差数列{an}中,当a10,d0时,Sn有最大值;当a10,d0,Sn有最小值.②最值的求法配方或求二次函数最值的方法:等差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1+nn-12d=d2n2+(a1-d2)n=An2+Bn,可通过配方或求二次函数最值的方法求得.常用邻项变号法:.当a10,d0时,满足an≥0,an+1≤0的n,使Sn取最大值;当a10,d0时,满足an≤0,an+1≥0的n,使Sn取最小值.三.等比数列(1)定义:an+1an=q(q为常数,且q≠0).(2)公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式:an=a1·qn-1,等比数列中任意两项的关系:an=amqn-m.9(3)等比中项:若a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,可以表示成G=±ab.(4)前n项和公式Sn=na1,(q=1)a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q,(q≠1)(5)等比数列的判断:定义法:an+1an=q(q为常数,且q≠0)等差中项法:a2n+1=anan+2(n∈N*,an≠0)通项公式法:形如an=kqn求和公式法:形如Sn=Aqn-A(6)等比数列的性质①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq;若m+n=2(m,n,p∈N*),则am·an=ap2;②若{an}是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列(当Sn≠0时),且公比为qn(q≠-1).③如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列1an,{kan}(k∈R,且k≠0),{an·bn},bnan,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为1q1,q1,q1q2,q2q1,|q1|.(7)在等比数列{an}中,若q0,则{an}中的项同号;若q0,则{an}中的项的符号正负相间(8)在等比数列{an}中,q=1时,{an}是不为零的常数列。四.常见数列的求和(1)公式法:等差数列,等比数列的求和用公式(1)分组求和法:适当分组,可拆分成两个或两个以上的等差或等比数列求和问题10(2)裂项法:通项公式是分式的形式如:①1()nnk=111()knnk②若数列{an}是公差为d的等差数列,则11nnaa=1111()nndaa③11nn=1nn(3)错位相减法:一般地,若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项的和时,可用错位相减法。注意:①识别题型:等比与等差数列的积;②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;四,不等式1.比较大小的依据:a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab.3.一元二次不等式的解集Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ011y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实根有两个相等的实根没有实根ax2+bx+c0(a0){x|xx1或xx2}{x|x≠-b2a}Rax2+bx+c0(a0){x|x1xx2}ØØ2.不等式的性质(1)对称性:abba;(2)传递性:ab,bc,ac;(3)可加性:ab,a+cb+c.ab,cd,a+cb+d.(5)可乘性:ab,c0,acbc;ab,c0,acbc.ab0,cd0,acbd.(7)可乘方:ab0,anbn(n∈N*,n≥2).(8)可开方:ab0,nanb(n∈N*,n≥2).五.二元一次不等式1,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域,其作法分两步:①定界:画直线Ax+By+C=0确定边界.虚线不包含边界,实线含边界②定域:法一取特殊点确定区域;法二由y的系数的符号与不等号决定:同号取上,异号取下。2,线性规划问题:截距型:z=axby;12b0时上移变大,下移变小;b0时上移变小,下移变大。斜率型:z=ybxa;表示两点(x,y)与(a,b)连线的斜率。距离型:z=22()()xayb;表示两点(x,y)与(a,b)的距离。三,基本不等式1.两个正数的基本不等式:ab≤a+b2;变式:2abab2()4abab2.利用基本不等式求最值:若a,b∈R+,a+b=S,ab=P,则:如果P是定值,那么当a=b时,S的值最小为2p;如果S是定值,那么当a=b时,P的值最大为24S.求最值的必要条件:一正、二定、三相等.3.双勾函数:,0ayxax
本文标题:专题复习六必修五《数列与不等式》知识要点
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