高中数学圆与方程知识点

高中数学圆与方程知识点分析1.圆的方程：（1）标准方程：222()()xaybr（圆心为A(a,b),半径为r）（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（0422FED）圆心（-2D，-2E）半径FED421222.点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d与r在大小关系判断3.直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。d=r为相切，dr为相交，dr为相离。适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,然后由判别式△来判断。△=0为相切，△0为相交，△0为相离。利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21rrl时，圆1C与圆2C相离；2）当21rrl时，圆1C与圆2C外切；3）当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；4）当||21rrl时，圆1C与圆2C内切；5）当||21rrl时，圆1C与圆2C内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,然后由判别式△来判断。△=0为外切或内切，△0为相交，△0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。5.直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一求圆的方程例1.求过点A(2,0)，圆心在(3,2)圆的方程。变式1求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx（也可设圆的标准方程求）∵(0,0),(11AB，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于FED,,的三元一次方程组.即02024020FEDFEDF解此方程组，可得：0,6,8FED新疆学案王新敞∴所求圆的方程为：06822yxyx新疆学案王新敞542122FEDr；32,42FD新疆学案王新敞得圆心坐标为（4，-3）.变式2（01年全国卷.文）过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（C）22.(3)(1)4Axy22.(3)(1)4Bxy22.(1)(1)4Cxy22.(1)(1)4Dxy变式3.求圆心在直线270xy上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)圆的方程。解：圆心在线段AB的垂直平分线y=-3上，代入直线2x-y-7=0得x=2变式4．求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长等于27的圆的方程.变式5．求圆22412390xyxy关于直线3x-4y+5=0的对称圆方程.题型二求轨迹方程与切线方程例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是12的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程变式1.已知点P（10，0），Q为圆2216xy上一点动点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程。解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).因为M是PQ的中点,所以.2.102,20,2100000yyxxyyxx即(*)又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.变式2.由动点P向221xy引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,60APB,求动点P的轨迹方程.解：设P(x,y)因为60APB,所以30OPA又因为OAAP，所以22OPOA，即222xy化简得224xy故所求的轨迹方程为224xy例2.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.解:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得kOM·kMP=-1,即00xy·xxyy00=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,P与M重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.变式：从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2=4引切线,求切线方程.解:把点P(4,5)代入(x－2)2＋y2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P在圆(x－2)2＋y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y－5=k(x－4),即kx－y＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即1|4502|2kkk=2,k=2021.所以切线方程为21x－20y＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.题型三直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系例1.(2006江苏高考)圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是(C)A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=0变式:(2006上海高考)已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P,则点P到直线x-y-1=0的距离是___________.答案：22变式2：例2.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[=5.因为d=r1+r2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22.因为|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以两圆相交.变式1已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组)2(.01124)1(,01622222yxyxyxyx①-②,得3x-4y+6=0.因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C1到直线的距离为d=22)4(3|63431|=59.所以AB=2524)59(322222dr,即两圆的公共弦长为524.题型四求关于弦长问题例4.已知直线l:y=2x－2,圆C:x2＋y2＋2x＋4y＋1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长.解法一：由方程组.0142,2222xxyxxy解得,4,154,53yxyx或即直线l与圆C的交点坐标为(53,－54)和(－1,－4),则截得线段长为558.解法二：由方程组(略)消去y,得5x2＋2x－3=0,设直线与圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点为(-51,-512),所以,53,522111xxyx得(x1-x2)2=2564,则所截线段长为|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=558.解法三：圆心C为(－1,－2),半径r=2,设交点为A、B,圆心C到直线l之距d=552,所以5542||22drAB.则所截线段长为|AB|=558.变式1：已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l的方程.解：将圆的方程写成标准形式有x2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45,所以弦心距为22)52(5=5,圆心到直线的距离为5,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d=1|332|2kk=5,两边平方整理得2k2-3k-2=0,解得k=21,k=2.所以所求的直线l的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.变式2：题型五.求距离最大最小值例1.已知点P(x,y)是圆22(3)(4)9xy上的任一点，求x2＋y2最小值与最大值。解：依题意，圆心为（1，2），半径r=3.设圆心（1，2）到原点距离为d=22345,x2＋y2最小值为(d-r)2=4,最大值为(d+r)2=64变式1：求圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.解:圆方程化为(x+2)2+(y-1)2=1,圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离为d=22)1(1|112|=22,所以所求的最近距离为22-1,最远距离为22+1.