高中数学必修五知识点

数学必修五知识点梳理第一章解三角形一、正弦定理和余弦定理●正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcBbAasinsinsin。学习正弦定理，要把握好以下三个问题：第一，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，正弦定理都是成立的。第二，正弦定理有下列常见的演变形式：cCbBaAsinsinsin；CBAcbasin:sin:sin::；ACacCBcbBAbasinsin,sinsin,sinsin；CRcBRbARasin2,sin2,sin2；RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin；RabcBacAbcCabS4sin21sin21sin21，其中，R是△ABC的外接圆的半径，S是△ABC的面积。第三，运用正弦定理，可以解决两类三角形问题，即已知两角和任一边，求其它一角和两边；已知两边和其中一边的对角，求其它一边和两角。●余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2－2bccosA；b2=c2+a2－2cacosB；c2=a2+b2－2abcosC。学习余弦定理，要把握好以下三个问题：第一，余弦定理是勾股定理的推广。第二，余弦定理的等价形式：bcacbA2cos222，cabacB2cos222，abcbaC2cos222。第三，运用余弦定理，可以解决两类三角形问题，即已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个夹角。●关于已知两边及其中一边对角解三角形的多解性讨论这里a，b，∠A都是已知的。如图，以C为圆心、以a为半径作圆，圆和AB边的交点个数，就是三角形的解得个数。absinAa=bsinAbsinAaba≥b无解一解两解一解∠A为直角或钝角的情况∠A为直角或钝角时，三角形的解得情况如图a≤ba≥b无解一解二、解三角形的应用●解三角形应用题的步骤1、准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词、术语。如：坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等。2、根据题意画出示意图，抽象为数学问题。3、分析与研究一个或几个三角形。4、正确应用正弦定理、余弦定理等有顺序地解这些三角形。5、回答实际问题。解应用题的关键在于如何将实际问题转化为数学问题，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，通过解三角形得到边、角的大小，进而得到实际问题的解。●几个常用概念1、坡度：斜面与地面所成的角度。2、仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，水平视线上方的角叫仰角，水平视线下方的角叫俯角。3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。4、方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角。ACabABCabACabACbaCABbaCBAaCABbaCAB1B2baa铅垂线视线水平线视线仰角俯角第二章数列一、数列1、数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫做数列，数列中每一个数叫做这个数列的项第n项记为an。2、数列的通项公式：数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式)(nfan来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式。注意：①数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式，即)(nfan。②并非所有的数列都能写出它的通项公式。③如果一个数列有通项公式，在形式上可以不止一个，换言之，一个数列的通项公式可以有多种形式。④数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。⑤用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间是有本质区别的：（1）集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的；（2）集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，它必须是有序的。●数列的分类1、按照项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列。2、按照项与项之间的大小关系分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列。3、按照任何一项的绝对值是否小于某一正数分为有界数列和无界数列。●数列的表示：（1）列举法：如1、3、5、7、9……；（2）图解法：由(n，an)点构成；（3）解析法：用通项公式表示，如an=2n+1（4）递推法：用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如a1=1，an=1+2an-1二、等差数列●等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前面相邻的一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。2、符号语言：运用符号语言“)(1为常数ddaann”来判断一个数列是否为等差数列，比用文字语言简洁、清晰得多。●等差数列的通项公式1、通项公式：dnaan)1(1=),()(Nnmdmnan。)(1为常数ddaann数列{an}等差数列2、公式的推导：由an+1-an=d，可知a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，……，an-an-1=d，将它们相加得an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d。3、等差中项公式：若a、A、b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2baA。利用等差数列的通项公式可以判断一个数是不是该数列中的项；还可以通过an=a1+(n-1)d，知道an，a1，n，d中三个便可求出另一个，即“知三求一”。●等差数列得性质1、若p+q=m+n，（m，n，p，q∈N+）则ap+aq=am+an。2、下标为等差数列得项（ak+m，ak+2m，……）仍组成等差数列。3、数列{λan+b}(λ，b为常数)仍为等差数列。4、若{an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也为等差数列。5、{an}得公差为d，则d0{an}为递增数列；d0{an}为递减数列；d=0{an}为常数列。三、等差数列得前n项和●前n项和公式1、等差数列得前n项和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11。2、等差数列前n项和公式推导：设Sn=a1+a2+…+an，倒序得Sn=an+an-1+…+a2+a1，相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)。由等差数列性质，得2Sn=n(a1+an)，所以2)(21aanSn。3、由等差数列得前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”得实质是方程思想，即建立方程组求解。4、在运用等差数列前n项和公式及通项公式求和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式2)(1naanSn较简便；若已知首项a1及公差d，用公式dnnnaSn2)1(1较好。5、在运用公式2)(1naanSn求和时，要注意性质“p+q=m+n，（m，n，p，q∈N+）则ap+aq=am+an”得运用。6、在求和时除了直接用等差数列得前n项和公式求和（即已知数列为等差数列）外，还要注意创设运用公式的条件（即将非等差数列问题转化为等差数列问题），以利于求和。●等差数列的性质1、等差数列{an}中，连续m项的和仍组成等差数列，即a1+a2+…am，am+1+am+2…a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m，…仍为等差数列。2、由等差数列的前n项和公式dnnnaSn2)1(1，可知若数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn+C（A，B，C∈R），则{an}为等差数列的充要条件是C=0。3、等差数列{an}中，当n为奇数时，21121SnadnaS偶奇（中间项）；21nanSn（项数与中间项的积）；11SnnS偶奇（项数加1比项数减1）。当n为偶数时，dnS2S奇偶，naaSnnn2122；122SnnaaS偶奇。4、等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系。区别联系Sn定义域为N+图像是一系列孤立的点1、解析式都是二次式；2、Sn的图像是抛物线y=f(x)上的一系列点f(x)定义域为R图像是一条光滑的抛物线利用上述关系可解决等差数列的前n项和Sn的最大值或最小值问题。一方面，前n项和Sn是n的二次函数，即Sn=An2+Bn（A≠0）。利用二次函数的相关知识及图像可求其最值；另一方面，就是要注意数列有它的特殊性，即n∈N+，因此并不一定是ABn2时，Sn达到最大（或最小），是当AB2∈N+时，而当NABn2时，n取与AB2最接近的正整数即可。四、等比数列●等比数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻一项之比为同一个常数，则这个数列叫做等比数列。2、符号语言：数列{an}中，若qaann1（常数），则称{an}为等比数列。3、必要条件：对任意的n∈N+，都有an≠0。●通项公式1、通项公式：mnmnnqaqaa11。2、推导：qaann1，qaaaaaaaannnn1223211111111223211nnnnnnnqaaqqqaaaaaaaaaa。3、等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，此时abG。4、通项公式的应用：由等比数列的通项公式可知，当已知a1，q，n，an中的三个，便可通过建立方程或方程组求出另一个，这是解这类问题的基本思想方法。●等比数列的性质1、若p+q=m+n，（m，n，p，q∈N+）则ap·aq=am·an。2、若等比数列{an}的公比为q，则a1是以q1为公比的等比数列。3、一组等比数列{an}中，下标成等比数列的项构成等比数列。4、若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}也为等比数列。5、101qa或1001qa，na递增；1001qa或101qa，na递减；naq1为常数列；naq0为摆动数列。五、等比数列得前n项和公式●等比数列得前n项和公式1、公式：任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an2111nSSnSannn●求数列中最大最小项的方法最大11nnnnaaaa最小11nnnnaaaa要考虑数列的单调性三、等差数列●等差数列的性质1、nmaaddnmaanmnm,3、且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an+q}，且公差为pd1，d1，d1±d2。4、在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即……，为等差数列，公差为md。5、等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，……为等差数列，公差为n2d。6、若等差数列的项数为2n，则有1,nnaaSSndSS偶奇奇偶。7、等差数列的项数为奇数n，则偶奇中间项偶奇且SSaSSSnn，11nnSS偶奇。8、na为等差数列，nnanS1212。9、通项公式是an=An+B0A是一次函数的形式；前n项和公式02ABnAnSn是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，Sn=na1,an=a1）。10、若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组001nnaa来确定n。若a10，d0，Sn有最小值，可由不等式组001nnaa来确定。●等差数列的判定方法1、定义法：)()(1Nndaann常数；2、中项法：212nnnaaa；3、通项法：dnaan)1(1；4、前n项和法：BnAnSn2。●设元技巧1、三数：daada,,；2、四数：dadadada3,,,3。四、等比数列●等比数列的定义与定义式：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。)(1为不等于零的常数qqaann。●通项公式11nnqaa，推广形式：mnmnqaa，变式。),,(Nnmmnaaqmnmn。●前n项和)10(11)1()1(111qqqqaaqqaqnaSnnn且。