高一数学-重要知识点及典型例题-函数

高中数学重要知识点及典型例题—函数第1页共6页函数一、知识网络二、重要知识点及典型例题1.映射的概念：（任意对唯一）设BAf:①A中所有元素都有象（在B中），并且象是唯一的；②B中的元素未必有原象（在A中），允许B中的元素有剩余.函数的概念:（任意对唯一）函数的三要素:对应关系,定义域,值域是函数的三要素．．．,缺一不可.☆☆复合函数的定义域求法：若)(xfy的定义域为[a,b],则)]([xgfy的定义域即为bxga)(的解集.若)]([xgfy的定义域为[a,b]，则)(xfy的定义域即为)(xg在[a,b]的值域.(相同的对应法则整体自变量的取值范围不变)2.求函数解析式的方法:(1)代入法:已知一个函数的解析式,求另外的解析式,直接代入.已知1)(2xxf,求函数记号及表示法集合映射函数反函数反函数与原函数的关系函数的概念和性质初等函数、幂,指,对数、三角函数函数的三要素函数的图象函数的性质定义域、值域对应法则平移、翻折对称、伸缩单调性最值应用数,式的大小比较方程的解法与讨论不等式的解法与讨论生产实际中的应用解析法、表格法、图象法高中数学重要知识点及典型例题—函数第2页共6页)(2xxf.☆(2)待定系数法:已知函数的类型,要求函数解析式时,可根据类型设其解析式,从而确定系数即可.如:已知)(xf是一次函数,且34)]([xxff,求)(xf.(3)拼凑法:已知y=ƒ[g(x)]的解析式,要求y=ƒ(x)时,可从y=ƒ[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”,即用g(x)来表示,再将两边的g(x)用x代替即可.如:已知:xxxf2)1(,求f(x).☆(4)换元法:象上面的题目,也可以令)(xgt,再求出)(tf的解析式,然后用x代替所有的t即可得到所求函数的解析式.(5)方程组法（消去法）:根据题目中的条件,列出所求的y=ƒ(x)所满足的方程组,通过解方程组得到问题的解答,在这里要注意的是函数的可变化性.如:已知23)1(2)(xxfxf,求ƒ(x).3..函数的图象作法(1)描点法:①列表;②描点;③用光滑的曲线连线.(2)变换作图法:一个函数图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象,平移、对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换:1)平移变换,主要有☆①水平平移:)0)((aaxfy的图象,可由)(xfy的图象向左)(a或者向右)(a平移（左加右减）a个单位得到;水平平移不改变函数的值域.☆②上下平移:)0()(bbxfy的图象,可由)(xfy的图象向上)(b或者向下)(b平移（上加下减）b个单位得到.竖直平移不改变函数的定义域.2)对称变换（函数的对称性）主要有☆①)(xfy与)(xfy的图象关于y轴对称;☆②)(xfy与)(xfy的图象关于x轴对称;☆③)(xfy与)(xfy的图象关于原点对称;☆④)(1xfy与)(xfy的图象关于直线xy对称;⑤)(1xfy与)(xfy的图象关于直线xy对称;☆⑥)2(xafy与)(xfy的图象关于直线ax对称;若)2()(xafxf(或者))()(xafxaf则)(xfy的图象关于直线ax对称;高中数学重要知识点及典型例题—函数第3页共6页⑦)(2xfby与)(xfy的图象关于by对称;⑧)2(2xafby与)(xfy的图象关于点),(ba对称;⑨若存在常数ba,,使得对于函数)(xf的定义域内的每一个xbaxx,,仍在定义域内,且)()(xbfxaf,则)(xf的图象关于直线2bax对称.☆3)翻折变换,主要有①|)(|xfy的图象在y轴的右侧)0(x的部分与)(xfy的图象相同,在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称;②|)(|xfy的图象在x轴的上方部分与)(xfy的图象相同,其他部分图象为)(xfy图象在x轴下方部分关于x轴的对称图形.☆4)伸缩变换,主要有（三角函数BxAy)sin(中）①)0)((axafy的图象,可将)(xfy的图象上每点的纵坐标伸长)1(a或缩短)10(a为原来的a倍(横坐标不变)而得到;②)0)((aaxfy的图象,可将)(xfy的图象上每点的横坐标伸长)10(a或缩短)1(a为原来的a1倍(纵坐标不变)而得到.4.函数值域（最值）的求法:(1)观察法:直接根据函数表达式得到函数的值域.如:求函数24xy的值域.(2)不等式法(部分分式法):根据不等式的性质直接推导得到值域.如:求函数)21(112xxxy的值域.☆(3)反表示法(反函数法):将函数表示成另一种形式求值域.如:求函数)4(21xxxy的值域.☆(4)中间变量法（方程思想）:借助于中间变量来解决问题.(中间变量的范围已知).高中数学重要知识点及典型例题—函数第4页共6页如:求函数1422xxy、)10(11)(aaaaxfxx且的值域.(5)配方法:通过配成完全平方来求解.如:求函数32xxy的值域.☆(6)图象法（数形结合法）:根据函数的图象得到函数值域的求解.如：求)21(2|;1||3|xxxyxxy钩形函数函数的值域☆(7)换元法:通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解.(注意变元的取值范围不能改变)如:求函数12xxy、]2,0[,523421xyxx的值域.(8)判别式法:借助于二次函数的判别式来求函数的值域.如:求函数152222xxxxy的值域.☆5函数的单调性:函数的单调性是一个局部概念:单调区间在变换的时候,不能交,也不能并,在写法上一定要注意规范性.（1）判断函数的单调性（利用定义：取值任意—作差变形—判断正负—得出结论）（2）求复合函数的单调区间（同增异减）先求定义域如：求函数3||22xxy，237.02logxxy，)423sin(xy的单调区间（3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等☆6函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称）①)(xf是偶函数对于任意的)()(,xfxfDx恒成立)(xf的图像关于y轴对称②)(xf是奇函数对于任意的)()(,xfxfDx恒成立)(xf的图像关于原点（0，0）轴对称，☆奇函数若在0x处有意义则0)0(f；有时用0)()(xfxf来判断奇偶性☆③奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性☆7函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）)()2(xfTxf或)()(TxfxTf是周期为2T的周期函数如：)(1)();()(xfaxfxfaxf等8反函数(1))(),(1xfxf的定义域与值域互换☆(2)mnfnmf)()(1）☆（3）y=f(x)与y=f－1(x)有相同的单调性、奇偶性（奇）高中数学重要知识点及典型例题—函数第5页共6页(4)函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称f－1(x)=f(x))(xf为自反函数（5）若函数y=f(x)是单调递增函数,则y=f(x)与y=f－1(x)的图象的交点必在直线y=x.(注意:原函数与反函数的图象交点并不一定在直线y=x上)附1☆☆专题一、一元二次函数在闭区间上的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最值可能出现以下三种情况：(1)若ab2＜p，则f(x)在区间[p，q]上是增函数，则f(x)min=f(p)、f(x)max=f(q)(2)若p≤ab2≤q，则f(x)min=f(ab2)此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p≤ab2＜2qp时，f(x)max=f(q)②当2qp＜ab2＜q，则f(x)max=f(p)(3)若ab2≥q，则f(x)在区间[p，q]上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p)。三类型：定区间定轴；定区间动轴；定轴动区间附2专题二、一元二次方程的实根分布二次方程实根的分布问题，就是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题，因此，理解交点及二次函数系数（a─开口方向，a、b—对称轴，c—图象与y轴的交点）的几何意义，掌握二次函数图象的特点，是解决此类问题的关健。设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞０),则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定．如果f(m)f(n)＜０(m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根．9指、对数(1)指数与对数:分数指数幂:正数的正分数指数幂的意义：1*,,,0(nNnmaaanmnm且),)1*,,,0(1nNnmaaanmnm且.对数:一般地,如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作:alogN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.☆)1,0(1log,01logaaaaa;☆对数恒等式:NaNalog;☆对数换底公式:aNNbbalogloglog;常用对数Nlg,自然对数Nln.☆关系式:alogN=bab=N;高中数学重要知识点及典型例题—函数第6页共6页☆指数的运算性质（1）am•an=am+n；(2)(am)n=am•n;(3)(a·b)n=an•bn(a0,b0,m,n∈R).☆对数的运算性质:若a0,a≠1，M0，N0，则:①loga(MN)=logaM+logaN;②NMNMaaloglogloga;③logaMn=nlogaM（n∈R）.④)0,1,0(loglogbaabnmbaman(2)指数函数与对数函数:名称指数函数对数函数一般形式xay（0a且1a）xyalog（0a且1a）定义域（－∞，＋∞）（0，＋∞）值域（0，＋∞）（－∞，＋∞）图象单调性当1a时,函数在R上为增函数;当10a时,函数在R上为减函数.当1a时,函数在（0，＋∞)上为增函数;当10a时,函数在(0，＋∞)上为减函数.图象xay的图象与xyalog图象关于直线xy对称.☆(3)幂、对数的大小比较（注意底数是参数时的分类）(1)底数相同,指数（真数）不同的两个幂的大小比较（函数单调性法）(2)底数不同,指数（真数）相同的两个幂的大小比较（作商法）/（利用换底公式）(3)底数与指数（真数）都不同的两个幂的大小比较（中间值法）10三角函数（1）三角的化简（注意“变”）☆巧变角、变函数名；活用公式（同角、和差、倍角及变形公式）☆（2）三角函数的最值①xbxaycossin型（和差公式）③cxbxaycossin2型（“1”的代换）②xcxxbxay22coscossinsin型（倍角公式将次）④dxcbxaycossin型（化①）xyy=ax(a1)y=ax(0a1)O1xyy=logax(a1)y=logax(0a1)O1高中数学重要知识点及典型例题—函数第7页共6页⑤cxxbxxaycossin)cos(sin型（换元令txxcossin化为二次函数）（3）三角函数的图象的变换和性质（用上面的方法化为BxAy)sin(）对称轴、对称中心，☆单调区间，周期用公式，☆图象的变换