保险精算例题

第二章【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算：（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？（2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？（3）借款多长时间后需要还款1200元。解：（1）1997年1月1日到1999年1月1日为2年。在单利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+2i)=1000×(1+2×5%)=1100（元）在复利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+i)²=1000×(1+5%)²=1102.5（元）（2）从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。在单利下，还款总额为：1000×（1+139365×5%）=1019.04（元）在复利下，还款总额为：1000×139365%（1+5）=1018.75（元）（4）设借款t年后需要还款1200元。在单利下，有1200=1000×（1+0.05t）可得：t=4（年）在复利下，有1200=1000×（1+0.05）t可得：t≈3.74（年）【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。解：在单利下，有A(5)=1000×(1+2×5%+3×6%)=12800(元)在复利下，有A(5)+1000×(1+5%)²×(1+6%)³=13130.95(元)【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。解：（1）1995年1月1日的现值为：1000×（1-0.05）³=857.38（元）（2）年利率为：i=d1-d=0.050.95=0.053【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：（1）在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。（2）在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值为：14000×（11.06）2=12459.95（元）（3）用贴现率计算现值，14000元2年前的现值为：14000×（1-0.06）²=12370.4（元）6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率m1234612∞d(m)0.056600.057430.057710.057850.057990.058130.05827【例2.5】某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？解：3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有1000×（1.03）36=2898.28（元）故三个月后他欠款2898.28元。【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。（2）求每月结算的年贴现率为10%的实际贴现率。（3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。解：（1）实际利率为：i=（1+mim)(）m—1=（1+12%12）12—1=12.68%故实际利率为12.68%。（2）实际贴现率为：d=1—（1—md）（m）m=1—（1—10%4）4=9.63%因此，实际贴现率为9.63%。（3）由（1+i）-1=1—d，有（1+mim)(）-m=（1—ndn）（）n（1+12%12）-12=（1—2d2）（）2d2）（=2×[1—（1+12%12）-6]=11.59%【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的歀为多少？解：年利率为16%，每年结算4次，也就是每3个月结算一次，每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次（21/7=7）。这样，4000元本金在结算7次后的本利和为：4000×（1+4%）7=5263.73（元）值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下，试求解以下问题：（1）贷款额在2003年7月22日的价值。（2）年利率i。（3）名义利率i12）（解：（1）如果一致年利率i，4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000（1+i）5。有公式（2.20），利息力与利率有如下关系：e&=1+i从而4000×（1+i）5=4000×e0.7=8055.01（元）（2）由（1+i）=e0.14，的年利率为：i=e0.14—1=0.15027（3）由（2.14a）式和（2.20）式，有（1+12i12）（）12=1+i=e0.14i12=12×（e0.14/12—1）=0.14082【例2.9】某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？解：设他在7年后的欠款额为X，有X=50000×1.0314—30000×1.0310—20000×1.034=12801.82（元）【例2.10】某人在1995年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率为5%，计算2004年1月1日其账户上的余额。解：依题意X=8000×1.059+6000×1.057—12000×1.053=6961.73（元）【例2.11】某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，2003年1月1日存款5000元。如果年利率为7%，计算在2002年1月1日账户中的存款总额。解：X=4000×1.076+6000×1.072+5000×1.07（-1）=17545.22（元）故在2002年1月1日，账户存款总额为17545.22元.【例2.12】某人1995年1月1日在其银行账户上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后没有存取项，年月日的账户余额为7100元，计算实际利率。解：2000（1+i）5+3000（1+i）2=7100由f（i）=2000（1+i）5+3000（1+i）2—7100=0i=0.11+）（—71.11-22.1071.11×0.001=0.11153【例2.13】某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是30年。假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。解：设每年需要的还款额为X,根据题意，有由于贷款和还款在零时刻的现值是相等的，有200000=X30aX=302000001iv=13010.29（元）【例2.14】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金额领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。解：X..15a=2000X=..200015a=1520001dv由于d=i1+i=0.0566故X=194.27（元）【例2.15】某人在30岁时计划每年初存入300元建立个人账户，如果他60岁退休，存款年利率假设恒定为3%。（1）求退休时个人账户的累积额。（2）如果个人账户累积额在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。解：（1）退休时个人账户累积额是30年定期的年金终值：300..30s=X..240a..240a=2401dv=24010.002466/1.002466(1/1.002466)=181.7144X=81.03（元）【例2.17】某人贷款50000元购买汽车，从贷款后第9个月开始在5年中每月还款，利率为6%，求每月的还款额。解：月利率j为：（1+j）12=1.06j=0.004868在第8个月，有X60a=50000（1+j）8X=1001.0921（元）设每月可以领取到的数额为x元，则有300..30s=12x..(12)20a根据名义贴现率的计算公式，可得：d（12）=12[1-（1+i）-1/12]=0.029522426..(12)20a=20(12)1vd=15.11814259X=14700.801215.11814259=81.03（元）因而每月可以领取的年仅为81.03元。【例2.18】某年金每年付款1次，连续付款10年，年利率为5%，年给付额为：第1年末支付100元，第2年末直至第9年末每次支付200元，第10年末支付100元，计算t=0时这些付款的现值。解：依题意，有现值=1009a+1009a×v=1009a（1+v）=1387.72（元）【例2.19】若存入银行10万元，建立一项永续奖励基金，从第一年后开始支取年金，设利率为4%，求每年可以提取的最大数额。解：设每年可以提取的最大数额为x，则100000=xa=xiX=4000（元）【例2.20】某年金第1年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前1年增加100元，共收付10年。若年利率为5%，求第10年末的年金总值。解：这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金。因此，第10年末的年金终值为：90010s+10010Is（）=900×101(1)ii+100×..1010is=17733.68（元）【例2.21】我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人账户相结合的方式，个人账户以个人缴费工资的8%计入。如果某职工从20岁参加个人账户保险，当年工资为6000元，工资年增长为2%，个人账户的累积利率为4%。求在他60岁退休时，个人账户的累积额。解：个人账户在20岁时的现值为：6000×0.08×（1+1.02v+1.022v2+…+1.0239v39）=480×40111.02vv（1.02）=13480.63（元）在60岁时的累积额为：13480.63×1.0440=64720.78（元）【例2.22】在例2.21中，如果个人账户累积利率在刚参加个人账户的前10年内为4%，退休前的10年内为4%，退休前的10年内为2%，中间20年为3%，求这时个人账户在退休时的累积额。解：在职工20岁至29岁间，个人账户在20岁的现值为：480×10111.02/1.04（1.02/1.04）=4405.216554（元）在职工30岁至49岁间，个人账户在20岁的现值为：480×1.0220×20111.02/1.03（1.02/1.03）×1011.04（）=7217.296894(元)在职工30岁至49岁间，个人账户在20岁的现值为：480×1.0230×10×2011.03（）×1011.04（）=3252.134534（元）个人账户在60岁时的累积值为：（4405.216554+7217.296894+3252.134534）×1.0410×1.0320×1.0210=48475.95（元）【例2.23】一项永续年金，第1年末付1000元，弟2年末付2000元，以后各年每年增加1000元，直到年付15000元后，支付水平保持在每年15000元的水平上不变，并一直继续下去。在利率水平7.5%下，计算此年金的现值。解：这一年金可以分解为一个递增确定的年金和一个永续年金，年金现值为，PV=100015Ia（）+15000i×v15=1i×[1000（..15a-15v15）+15000v15]=126522.1（元）【例2.24】设A向B借款20000元，期限为5年，年实际利率为6%，A在每年末以等额分期方式偿还贷款。试计算：（1）每年末应偿还的金额。（2）各年末的未偿还本金金额。（3）每年末偿还金额中利息和本金金额解：依公式（2.40），有R=0niBa=4747.93（元）时期每年末偿还金额支付利息偿还本金年末未偿还贷款余额0——————20000.0014747.931200.003547.9316452.0724747.93987.123760.8012691.2734747.93761.483986.458704.8244747.93522.294225.644479.1854747.93268.75