SV模型

随机波动模型常见的SV模型SV模型的参数估计方法离散SV模型22122,1,2...,lnln.(0,1).(0,),,||1.tttttttttSVytTytiiNiiN::基本的离散模型如下：其中是消去均值后第期的收益，一般假定且未知。为常数，为持续性参数,反映当前波动对未来波动的影响，离散SV模型22121ln,||1.tttthttttthtttttyehhyehh如果取h则可以得到还有其他不同的SV模型，如：，式中是比例参数，表示平均波动水平，该模型消除了常数项随机波动模型的性质厚尾SV模型厚尾SV模型含有外生因素的SV模型21112exp(/2),.(0,1)exp(/2)ttttttttttttttttyabycdDhhhDyiidhDc:金融资产收益的均值和波动常会受到一些外生解释变量的影响，这些变量包括虚拟变量，季节成分，周末效应，成交量等。其模型体现为：其中表示测度序列的波动，表示周末效应的虚拟变量，在周末后得一个交易日取1，其余取0。项是来1ty刻画风险溢价，而刻画当期收益与未来收益波动的相关性。含有前期观测影响的SV模型2211ln{}{}{}{},,nthttnttititittttiSVyehhyh考虑到前期观测对当前波动的影响，模型扩展为：，其中和是互不相关的白噪声序列，且和不相关。为常数。为模型中待定阶数，可通过AIC准则或模型均方误差（最小）准则来确定。考虑预期收益的SV模型1*221*,.(0,1).(0,){}{}dttttttttthttttttttttSVSVMyiiNabydehhiiNytth::在模型中，为了研究风险与预期收益的关系，提出了模型，其中为在时刻的超额收益，为时刻的预期收益，为对数波动，是尺度因子为正常数，和是互不相关的白噪声过程。为波从持续性参数，则度量了波动对预期收益影响的参数。长记忆SV模型222222exp(/2),.(0,1)(1)()(),.(0,)()()ln,ln=[ln]ln[ln]ttttdttttttttttttyhiidLLhLiiNLLyyEhEh::为了刻画波动过程中表现的长记忆特征，提出了如下模型：其中和为滞后算子多项式，它们的特征根都在圆外。且-0.5d0.5。令z并两边取对数有z222222222=[ln]=ln[ln]..(0,).ln[ln]=-1.27/2tttttttttEEiidE:其中，，如果服从标准正态分布，则服从对数分布，且，Box-Cox-SV模型2212,1,2...,(,)[(,)]{}{}(0,1)(,)(,)1,0(,)=ln,0tttttttttBoxVoxSVSVytThhNhhxBoxVoxxhxx模型是一类非线性模型，其表述如下和是两个不相关的序列，是参数为的函数。这里取变换：21/21(,)[(,)]=,[](,)=(1),0=(,)exp(),0tttttttttttttttthhyghghhghgBoxVoxhgghh如果记，则上述模型可改写为：式中是变换的逆函数，有：杠杆SV模型变截距SV模型2201,lnln,.ttttttttSVyrDii:金融收益序列的波动性表现出很强的持续性(即的估计值接近1)一般认为这种波动持续性的一个重要原因是波动中存在结构变化。这种结构变化有可能是模型中参数的改变，也可能是模型形式的变化，其基本原因在于经济、金融政策的出台，金融监管制度的变化以及金融市场自身的完善。变截距模型也称门限自回归形式：.(0,1)10tND其中为虚拟变量，在高、低波动状态分别取和SV模型的参数估计方法伪极大似然方法马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC方法、Gibbs、M-H）非线性滤波极大似然方法广义矩方法模拟极大似然方法经验特征函数方法伪极大似然方法222221122=(){},{},(|)(,|)TTTTttttttRtttyyySVLfyfydx基本SV模型共有三个未知参数：,,。令,,其中是方差，模型似然函数为：其中f(.|.)表示条件密度，T为观测样本容量。由于似然函数是一个T重积分，且该积分不具有解析表达式QML把SV基本模型转换为线性状态空间形式：z12222=ln,,=ln.1-1.27/2ttttttttttttxxyxhx其中z是不可观测的变量，服从自由度为的对数分布，的均值和方差分别为和。伪极大似然方法|12|11|01|021|01|01=1.27/2(),||1,1lnln2ln22ttttttttttttttTtfxfPPxxPxxPTLf和分别为预测误差和方差，且z为的方差给定初始值和滤波就可以递推进行。如果则的无条件均值和方差分别为/1-和/1-，它们通常作为和如果误差项和服从正态分布，则对数似然函数为2112lnTtttttf由于观测误差项是非正态的，且均值和方差并非精确值，因此该方法称为伪极大似然法马尔可夫链马尔可夫链马尔可夫链静态蒙特卡罗方法静态蒙特卡罗方法马尔可夫链蒙特卡罗方法MCMC方法基本原理马尔可夫链蒙特卡罗方法马尔可夫链蒙特卡罗方法马尔可夫链蒙特卡罗方法Gibbs抽样21200002(0)111\1(,|)(,)(1)(2)(|,,)1,TTTiiiitthyhhhhhhhfhhyht为了从后验分布模拟出所需的样本，单元素Gibbs抽样将向量分块成具体的单元素形式(,...,,,),然后从条件分布中抽取每一个具体的元素。具体步骤如下：设定(,...,,,)的初始值(,...,,,),令i=0从条件分布中抽取一个随机样本记为，22121+121+1...(3)(|,,,)(4)(|,,)(5)(|,,)iiiiiiiiiiiiiTfhyfhfh（）（）（）从条件分布中抽取一个随机样本记为从条件分布中抽取一个随机样本记为从条件分布中抽取一个随机样本记为Gibbs抽样121112111211j+1211(6)mmmmjjmmmhhhh（）（）（j+）（）利用新的参数值作为初始值，重复前面的过程m次，即得到一系列的随机数序列：(,,,),...,(,,,)理论上，不同的初始值会对结果产生一定的影响，但实际中，通常经过一个燃烧期来消除初始值的影响。即去掉前面j个随机抽取的值，只考虑新的样本：(,,,),...,(,,,212(,,|,)ibbsmmmmmjmhfyhG（）),(1)当m充分大时，可认为(,,,)来自于联合分布的一个随机抽取。这就是抽样的MCMC方法估计SV模型的基本原理。Metropolis-Hastings算法Metropolis-Hastings算法Metropolis-Hastings算法