等不数列-练习--含答案

课时作业10等比数列的性质时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42【答案】A【解析】∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列．∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50，∴a4a5a6＝52.2．在等比数列{an}中，已知a1a38a15＝243，则a39a11的值为()A．3B．9C．27D．81【答案】B【解析】∵a1a38a15＝243，∴a8＝3，又∵a39a11＝a8q3a8q3＝a28，∴a39a11＝9.故选B.3．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.【答案】4n－1【解析】由题知a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2.①又因为q＝4，所以①式为a1＋4a1＋16a1＝21a1＝21，即a1＝1.所以an＝a1·qn－1＝1·4n－1＝4n－1.4．在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.【解析】∵a4·a7＝a3·a8＝－512，∴a3＋a8＝124a3·a8＝－512，解得a3＝－4a8＝128或a3＝128a8＝－4.又公比为整数，∴a3＝－4，a8＝128，q＝－2.∴a10＝a3·q7＝(－4)×(－2)7＝512.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9【答案】B【解析】由等比数列的对称性可知b2＝(－1)×(－9)＝9，ac＝(－1)×(－9)＝9，∴b＝±3，而b＝(－1)·q20，∴b＝3舍去，∴b＝－3，ac＝9.2．已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝()A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2，即(a3＋a5)2＝25，又∵an0，∴a3＋a5＝5.3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比q满足：|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．5B．10C．11D．12【答案】C【解析】因为a1a2a3a4a5＝a53＝(a1q2)5＝q10，所以am＝a1·qm－1＝qm－1＝q10.所以m＝11.4．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．5C．－15D.15【答案】A【解析】∵log3an＋1＝log3an＋1，即log3an＋1－log3an＝log3an＋1an＝1，∴an＋1an＝3.∴数列{an}是等比数列，公比q＝3.故log13(a5＋a7＋a9)＝log13[q3·(a2＋a4＋a6)]＝log13[33·9]＝－5.5．在等比数列{an}中，an0，a3a6＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8等于()A．128B．36C．20D．10【答案】C【解析】由等比数列的性质，得a3a6＝a4a5＝a2a7＝a1a8＝32，∴原式＝log2(a1a2a3·…·a8)＝log2324＝log2220＝20.6．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：①{a3n}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①，因为an＋13a3n＝(an＋1an)3＝q3(常数)，所以{a3n}是等比数列；对于②，因为pan＋1pan＝an＋1an＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；对于③，因为an＋1·an＋2an·an＋1＝an＋2an＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；对于④，因为an＋1＋an＋2an＋an＋1＝anq＋an＋1qan＋an＋1＝qan＋an＋1an＋an＋1＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．故等比数列的个数为4个，应选D.7．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】由anan＋1＝a2nq＝16n0知q0，又an＋1an＋2anan＋1＝q2＝16n＋116n＝16，∴q＝4.故选B.8．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．315【答案】B【解析】因为a1a2a3＝a32，a4a5a6＝a35，a7a8a9＝a38，…，a28a29a30＝a329，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230.所以a2a5a8…a29＝210.所以a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210·210＝220.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.【答案】2n＋1－3【解析】解法一：由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3)，∴an＋1＋3an＋3＝2，∴{an＋3}是以a1＋3为首项，以2为公比的等比数列．∴an＋3＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－3.解法二：由a1＝1，an＋1＝2an＋3依次递推，得a2＝5，a3＝13，a4＝29，…猜想an＝2n＋1－3.10．已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，则数列{an}的通项公式an＝________.【答案】2n【解析】先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．a25＝a100，根据已知条件得2(1q＋q)＝5，解得q＝2.所以a21q8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等比数列中，若a2＝2，a6＝162，试求a10.【分析】方法一：已知等比数列中的任何两项，用an＝am·qn－m可求等比数列中的任何一项．方法二：若三个数m，n，p成等差数列，则数列{an}中的三项am，an，ap成等比数列(m，n，p∈N＋)，且an是am，ap的等比中项，即a2n＝am·ap.方法三：由等比数列的通项公式an＝a1qn－1列方程组求解．【解析】方法一：∵a6＝a2q4＝2×q4＝162，∴q4＝81，∴a10＝a6·q4＝162×81＝13122.方法二：∵2,6,10三个数成等差数列，∴a2，a6，a10成等比数列，∴a26＝a2·a10，∴a10＝16222＝13122.方法三：设首项为a1，公比为q.由已知得a1q＝2，①a1q5＝162，②②÷①得q4＝81.∴a10＝a6·q4＝162×81＝13122.12．设二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α，β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用an表示an＋1；(2)当a1＝76时，求数列{an}的通项公式．【解析】(1)由根与系数的关系，得α＋β＝an＋1an，αβ＝1an.又6α－2αβ＋6β＝3,6(α＋β)－2αβ＝3，得6an＋1an－2an＝3.∴an＋1＝12an＋13.(2)方法一：由an＋1＝12an＋13，an＝12an－1＋13，两式相减，得an＋1－an＝12(an－an－1)，即数列{an＋1－an}是以12为公比的等比数列，首项a2－a1＝12a1＋13－a1＝－14，∴an＋1－an＝－14·12n－1，12an＋13－an＝－14·12n－1.∴an＝23＋12n.方法二：设an＋1－m＝12(an－m)，其中m是待定的系数，∴an＋1＝12an＋12m，与an＋1＝12an＋13比较得．12m＝13，m＝23.∴an＋1－23＝12(an－23)．即数列an－23是以a1－23＝12为首项，12为公比的等比数列．∴an－23＝12·12n－1，an＝23＋12n.【规律方法】数列{an}满足递推关系式a1＝b，an＋1＝can＋d，求an的方法很多，其中主要方法有两种：一是阶差法，二是待定系数法．