3.3.1-两条直线的交点坐标&3.3.2-两点间的距离

3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.对于两条直线和,若方程组0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl00222111CyBxACyBxA有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？两直线有一个交点，重合、平行例1：求下列两直线交点坐标：3420220xyxy解：解方程组12:3420;:220lxylxy所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2）.(如图所示)2,2xy得l1Ml2例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.解：解方程组x－2y+2=02x－y－2=0∴l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为y=kx把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为x-y=0x=2y=2得表示何图形，图形有何特点？思考与探究：342(22)0xyxy=0时，方程为3x+4y-2=0=1时，方程为5x+5y=0=-1时，方程为x+3y-4=0解：先以特殊值引路：变化时，方程当xyl20l1l3作出相应的直线探究发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）是过直线结论引申：共点直线系方程：111222()0AxByCAxByC的交点的直线系方程。1110AxByC和2220AxByC回顾例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:解：设直线方程为因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：λ=1将λ=1代入即所求直线方程12:220,:220lxylxy22(22)0xyxy22(22)0xyxy330xy得0.xy例3：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。解法一：解方程组x+2y－1=0，2x－y－7=0得x=3y=－1∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－10=0解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0∴－————=32+λ2λ－1解得λ=1/7因此，所求直线方程为3x－y－10=0练习1：说明下列各对直线的位置关系：•（1）l1:x-y=0,l2:x+3y-10=0;•（2）l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;•（3）l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0;解:（１）x=5/2,y=5/2，两直线有交点（５／2，５／2）（２）方程组无解，两直线无交点。l1‖l2（３）两方程可化成同一个方程，两直线有无数个交点。l1与l2重合2.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.xyoBAP3：求经过两直线3x+2y+1=0和2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线方程.340xy已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何求点P1和P2的距离|P1P2|？xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)O两点间距离公式两点间距离公式推导xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)O221||||PQyy121||||PQxxx2y2x1y1两点间距离公式22122121||()()PPxxyy22||OPxy特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为一般地，已知平面上两点P1(x1，)和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1和P2的距离为1y练习1:求下列两点间的距离答案：(1)8(2)3(1)(6,0),(2,0)(2)(0,4),(0,1)ABCD2.已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C()试判断△ABC的形状.23,21分析：计算三边的长，比较后可得结论.思考(1,2),(2,7),ABP||||PAPB||PA例4已知点在轴上求一点，使，并求的值。2222102207xx解得x=1。所以，所求点P（1，0）且解：设所求点为P（x,0），于是2225411xxxx22PAPB由得22(11)(02)22PAx即证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系.ABCDxy例5;证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。则A(0，0)。设B(ａ，0)，D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，因为2222222,ABaCDADBCbc222222(),()ACabcBDabc所以22222222()ABCDADBCabc222222()ACBDabc所以2222ABCDADBC22ACBD因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量第二步：进行有关代数运算第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系例6.求函数120822xxxy的最小值.的距离之和最小到两点)1,0(),2,4()0,(1242222xxxy拓展)(1212xxkyy已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？212211||||kxxPP21211||kyy例7；设直线2x-y+1=0与二次函数相交于A、B两点，求|AB|的值.234yxx